Démontrer qu'une suite est bornée (TS)

[eric251]

Bonjour ! Ayant envie de terminer rigoureusement mes exos de maths tout en les ayant compris, je me permets de poster sur ce forum :we: .

Voici l'énnoncé :

Soit la suite définie par U0=1 pour tout n > 1, Un+1=-Un²+3.
Démontrer que la suite (Un) est bornée.

L'aide nous recommande de calculer Un+1 pour Un=-1 et Un=2.
En quoi calculer ces deux termes me permettra-t-il d'en déduire que la suite est bornée :hein: ?

Merci d'avance pour vos réponses :happy2: .

[Monsieur23]

Bonjour !

Que trouves-tu déjà pour Un=-1 et Un=2 ?

[eric251]

Bonjour =) !

Pour Un=-1 je trouve 2 (-1 + 3)
Pour Un=2, je trouve -1 (-(2)²+3)

[Monsieur23]

That's it !

Donc en fait, la suite "boucle" sur elle même.

Il ne te reste plus qu'à montrer par récurrence que les termes d'indice pair ( sauf U0 ) valent -1 et les termes d'indice impair valent 2.

Donc ta suite sera bien bornée !

[eric251]

Oké merci :id: .
Mais comment utiliser le raisonnement par récurrence quand Pn ne dépend pas de n ? Je viens par ailleurs seulement de découvrir l'axiome de récurrence ><.

[Monsieur23]

Ta propriété Pn dépend de n

C'est Pn = « Pour tout n plus grand que 1, U(2n) = -1 et U(2n-1) = 2 »