Continuité

[farator]

Bonsoir, j'aimerais savoir exactement comment on prouve qu'une fonction est continue sur un intervalle.
Merci

[~oa~]

Bonjour,
Une fonction f est continue sur un intervalle I si elle est continue sur tout ses points .
a+

[nuage]

Salut,
il y a 2 méthodes principales :

1. Démontrer qu'elle est continue en chaque point de l'intervalle.

2. Utiliser les théorème du genre la somme (le produit ...) de 2 fonctions continues sur un intervalle est continue sur cet intervalle

[farator]

Ok pour la deuxième
Mais comment fait-on pour démontrer qu'elle est continue en chaque point de l'intervalle ?
Il ne faut pas montrer qu'elle est dérivable sur son ensemble de définition, donc calculer sa dérivée ??

[Quidam]

Ok pour la deuxième
Mais comment fait-on pour démontrer qu'elle est continue en chaque point de l'intervalle ?
Il ne faut pas montrer qu'elle est dérivable sur son ensemble de définition, donc calculer sa dérivée ??

Non, non ! Elle peut être continue sans être dérivable ! Prouver qu'elle est dérivable suffit pour prouver du même coup qu'elle est continue, mais ce n'est pas nécessaire ! D'ailleurs, je ne vois pas comment prouver que la fonction est dérivable AVANT d'avoir prouvé qu'elle est continue !

[Quidam]

Nuage a tout-à-fait raison ! La définition est ce qu'elle est !
En général, on fait un mélange des deux ! Pour presque tous les points de l'intervalle, la preuve de la continuité résulte de l'application de théorèmes généraux. Et pour chacun des points où ces théorèmes ne s'appliquent pas, tu es obligé de démontrer toi même que la fonction répond bien à la définition en ce point !

[farator]

D'accord, j'ai compris !
Un exemple au hasard :

Imaginons qu'on nous demande d'étudier sa continuité... Comment procéder ?

[Skullkid]

Bonjour, ton exemple c'est une fraction rationnelle, elle est continue sur son ensemble de définition (en tant que quotient de deux polynômes, continus sur ).

En général, on fait appel à la définition de la continuité en un point quand la fonction est définie en plusieurs "morceaux", par exemple f définie sur par


Par les théorèmes dits généraux sur la continuité (les sommes, produits, quotients, composées de fonctions continues sont continus) on a que f est continue sur .

Le problème se trouve en 0. Pour étudier la continuité de f en 0, on doit vérifier si . Ici, c'est bien le cas (je suppose que vous avez étudié cette limite en cours), donc f est continue en 0, donc sur .

Par contre si on avait défini f avec f(0)=2, elle n'aurait pas été continue en 0.

[farator]

Ok, j'ai compris Merci



Par contre :

Bonjour, ton exemple c'est une fraction rationnelle, elle est continue sur son ensemble de définition (en tant que quotient de deux polynômes, continus sur ).

est un polynome ? :hein:

[Skullkid]

Oui, est un réel comme les autres.

Tu voulais peut-être parler de , auquel cas f n'est pas une fonction polynôme, mais la composée d'une fonction polynôme avec la fonction racine carrée, qui toutes deux sont continues sur leur domaine de définition, donc f est continue sur son ensemble de définition, et on finit par retomber sur nos pattes.

[farator]

Oui, ok j'ai compris
Mais quelle est la définition d'un polynome exactement ?

[Skullkid]

Une fonction f est une fonction polynôme s'il existe un entier naturel n et n+1 réels tels que

[farator]

Ok, donc je dois en conclure que par exemple :
n'est pas une fonction polynome
n'est pas une fonction polynome

En revanche ces deux expressions et sont-ils des polynomes ?

[Skullkid]

g est une fonction polynôme ! Elle répond bien à la définition que j'ai donnée avec , , et .

La définition formelle d'un polynôme est un peu trop...formelle. Et on n'en a pas besoin ici puisqu'on ne considère en fait que des fonctions, mais si tu veux considérer des expressions, je te propose la définition suivante, qui n'est pas la "vraie" : une quantité f(x) (c'est-à-dire qui dépend de x) est un polynôme en x si et seulement si f est une fonction polynôme.

n'est pas un polynôme en x, ce qui est équivalent à dire que la fonction définie par n'est pas une fonction polynôme.

est un polynôme en x.

En fait, quand tu as des expressions, il conviendrait de préciser "polynôme en ...". Parce que par exemple, pour , certes ça n'est pas un polynôme en x, mais c'est un polynôme en . En effet, si je pose , l'expression devient t²+t, qui est bien un polynôme en t.

Quoi qu'il en soit, tu n'auras affaire aux polynômes que sous forme de fonctions polynômes, qui ont une définition simple (celle que j'ai donnée).

J'éspère que je ne t'ai pas embrouillé...

[farator]

Non !
Réponse très claire !!
Merci beaucoup :++: