TS-continuité

[Anonyme]

Bonjour,

Soit f la fonction définie sur R par :
- pour x différent de 0, f(x)=x²sin(1/x)
-f(0)=0

La question est de savoir si f est dérivable en 0 ; j'ai bien sûr essayé de
calculer la limite à gauche et à droite, en 0, de f(x), mais je n'arrive pas
à montrer que la lim (x->0) sin(1/x) est un réel, ce qui achèverait la
démonstration... Avez-vous d'autres pistes ?

Merci.

--
SV

[Anonyme]

Bonjour,

>
> Soit f la fonction définie sur R par :
> - pour x différent de 0, f(x)=x²sin(1/x)
> -f(0)=0
>
> La question est de savoir si f est dérivable en 0 ; j'ai bien sûr essayé
> de
> calculer la limite à gauche et à droite, en 0, de f(x),

Tu es intéressé par la limite de f(x)/x, pas de f(x)

> mais je n'arrive pas
> à montrer que la lim (x->0) sin(1/x) est un réel,
>

.... et tu n'y arriveras pas cat sin (1/x) n'a évidemment pas de limite qaund
x temps vers 0 (oscillations entre -1 et 1).

En revanche, tu dois pouvoir encadrer |f(x)/x| par deux valeurs qui tendent
vers 0 avec x.
Et cela répondrait à ton problème.

[Anonyme]

SV a écrit:
> Bonjour,
>
> Soit f la fonction définie sur R par :
> - pour x différent de 0, f(x)=x²sin(1/x)
> -f(0)=0
>
> La question est de savoir si f est dérivable en 0 ; j'ai bien sûr essayé de
> calculer la limite à gauche et à droite, en 0, de f(x), mais je n'arrive pas
> à montrer que la lim (x->0) sin(1/x) est un réel, ce qui achèverait la
> démonstration... Avez-vous d'autres pistes ?
>

La dérivée en 0 est la limite du taux d'accroissement de ta fonction
entre 0 et x pour x tendant vers 0, ici cela vaut donc
(x^2*sin(1/x)-0)/(x-0) = x*sin(1/x). Dire que f est dérivable en 0
équivaut à dire que x*sin(1/x) admet une limite finie en 0. Or sin(1/x)
est borné et x tend vers 0 donc ta fonction tend vers...

--
albert

[Anonyme]

SV a écrit :
> Bonjour,
Bonjour
>
> Soit f la fonction définie sur R par :
> - pour x différent de 0, f(x)=x²sin(1/x)
> -f(0)=0
>
> La question est de savoir si f est dérivable en 0 ; j'ai bien sûr essayé de
> calculer la limite à gauche et à droite, en 0, de f(x), mais je n'arrive pas
> à montrer que la lim (x->0) sin(1/x) est un réel
Normal la limite n'existe: le sinus oscille entre -1 et 1 non?
, ce qui achèverait la
> démonstration... Avez-vous d'autres pistes ?
D'abord que le pronlongement en 0 est continu (i.e même limite à droite
qu'à gauche). Comme le sinus est à valeur dans [-1,1] tu peux écrire
-x^2 f(x)->0 (x->0): théorème des gendarmes ou encadrements
(tu dois avoir quelquechose comme ça dans ton cours)

Maintenant est ce que le prolongement est dérivable? Etudie le taux
d'accroissement (rappel la dérivée en a de f est définie de la sorte:
lim (f(x)-f(a))/(x-a))=f'(a) (quand x->a)).
Ici tu cherches la taux d'accroissement en 0 ie limite de
f(x)-f(0)/x=f(x)/x=x*sin(1/x)->0 (quand x tend vers0)
D'après le théorème des gendarmes la fonction est dérivable en 0

>
> Merci.
De rien
>
> --
> SV
>
>


--
Stéphane Saje
http://perso.wanadoo.fr/stephane.saje/

[Anonyme]

"SV" a écrit dans le message de news:
41b34785$0$27074$626a14ce@news.free.fr...
> Bonjour,
> Soit f la fonction définie sur R par :
> - pour x différent de 0, f(x)=x²sin(1/x)
> -f(0)=0
> La question est de savoir si f est dérivable en 0 ; j'ai bien sûr essayé
> de
> calculer la limite à gauche et à droite, en 0, de f(x), mais je n'arrive
> pas
> à montrer que la lim (x->0) sin(1/x) est un réel, ce qui achèverait la
> démonstration... Avez-vous d'autres pistes ?

Tu voulais montrer le continuité de la dérivée
si f'(0) existe alors
f'(0)=lim(x->0) (f(x)-f(0))/(x-0)=lim(x->0) (f(x)/x)=lim(x->0) xsin(1/x)=0

or f'(x)=2xsin(1/x)-cos(1/x) non continue en 0
a+

[Anonyme]

Merci à tous.