Continuité

[mehdi-128]

Bonjour,

Comment montrer que la fonction : est continue sur ?

[abdelmalek.2008]

f définie paq au voisinage de 1 et -1.

La somme, la diff´erence, le produit et le quotient de deux
fonctions continues sont des fonctions continues.
continue sur

[mehdi-128]

Ok merci.

Comment montrer que :

continue sur ?

[aymanemaysae]

Bonjour ;

Soit la fonction définie sur l'intervalle par : ;
donc est continue sur comme fonction polynomiale .

Si alors ; donc : ; donc : ; donc : .

Soit la fonction définie comme restriction de la fonction racine carrée sur .

Soit la fonction définie sur par : ; donc elle est continue sur comme composée des fonctions et .


Si alors , donc : ; donc : .

Comme la fonction est continue et non nulle sur , alors la fonction est continue sur .


Conclusion : la fonction définie sur par : est continue sur .

[mehdi-128]

Merci, super clair !

Faut que je revois les composées de fonction continues.

[aymanemaysae]

De rien . Bon courage .

[hdci]

Sans passer par les composées, on peut également montrer que
Ce qui revient à étudier au voisinage de :



Ce qui est égal à


C'est-à-dire à


Pour fixé, le dénominateur est minorable (au voisinage de ), et le numérateur sera aussi proche de 0 qu'on le souhaite en prenant suffisamment proche de donc la limite est bien nulle quand tend vers

[mehdi-128]

Je n'ai pas compris votre explication avec le "minorable" et "aussi proche de 0" :



C'est où qu'on utilise que ?

[hdci]

On utilise parce qu'ailleurs la fonction n'est pas définie : si alors ) et on ne peut pas en prendre l'inverse (c'était la fonction initiale : , et si alors et on ne peut pas en prendre la racine carrée.

Par contre dans la formule de la limite, on écrit : il s'agit d'une condition suffisante. Donc pour donné, on cherche pour que la fraction
en valeur absolue soit inférieure à : il suffit de trouver un "bon"

• Donc déjà il faut que x soit dans ]-1;1[ ce qui est possible car y est également, on peut donc trouver un voisinage de inclus dans ]-1;1[.
  
• Le dénominateur est minoré par puisqu'on lui ajoute un terme strictement positif : donc son inverse est majoré.
  
• et on peut majorer le numérateur parce que d'une part (2 c'est la largeur de l'intervalle [-1; 1]), il suffit donc de trouver tel que soit suffisamment petit pour que, multiplié par tout le reste, on se retrouve toujours inférieur à

Plus précisément, il suffit que ce qui donne ...

[mehdi-128]

Ah d'accord merci, vous êtes repassé par lé définition vue dans le supérieur.

Comme on peut prendre

[hdci]

Oui c'est ça, j'ai utilisé la définition pour ne pas utiliser la propriété de composition. Mais c'est évidemment plus rapide avec la composition d'applications continues...

[mehdi-128]

Une petite précision : le fait qu'on puisse toujours trouver un voisinage de x_0 dans ]-1,1[ c'est parce que ]-1,1[ est un ouvert ? Le |x-x_0|<1 désigne un voisinage de x_0 ?

[hdci]

le fait qu'on puisse toujours trouver un voisinage de x_0 dans ]-1,1[ c'est parce que ]-1,1[ est un ouvert ?

Oui si on veut que le voisinage soit un ouvert dans . Mais si le domaine de définition d'une fonction est un intervalle fermé (comme par exemple la fonction racine carrée) cela ne pose pas de problème car le voisinage topologique induit est l'intersection d'un voisinage avec le sous-ensemble

Le |x-x_0|<1 désigne un voisinage de x_0 ?

Dans oui c'est même plus précisément ce voisinage ouvert :