Continuité

[t.itou29]

Bonsoir,
J'ai un problème avec un exercice:
On considère l'intervalle I=[0;1] et une fonction numérique f définie et continue sur I, telle que f(0)=0 et f(1)=1
1) Montrer qu'il existe au moins un réel x appartenant à I tel que f(x)=1-x (utiliser une fonction auxiliaire)
2) Interpréter en termes géométrique
Pour la 1) j'ai trouvé une solution mais sans fonction auxiliaire:
f est continue sur I, de plus f(0)=0 et f(1)=1, f prend donc toutes les valeurs de [0;1] c'est à dire de I.
Or pour tout x appartenant à I, 1-x appartient à I.
Est-ce bon ?
Pour la 2) à part qu'il existe au moins un point de Cf tel que x+y=1 je ne vois pas quoi dire.
Pouvez vous m'aider ?
Merci

[chan79]

Bonjour
Tu pourrais poser g(x)=f(x)-1+x
Calcule g(0) et g(1)
g est continue

[t.itou29]

Bonjour
Tu pourrais poser g(x)=f(x)-1+x
Calcule g(0) et g(1)
g est continue

g(0)=-1 et g(1)=1, et j'utilise le même le même principe pour montrer qu'il existe un x tel que g(x)=0 ?
Au fait ma réponse sans fonction auxiliaire était-elle correcte ?

[leon1789]

1) Montrer qu'il existe au moins un réel x appartenant à I tel que f(x)=1-x (utiliser une fonction auxiliaire)
(...)
Pour la 1) j'ai trouvé une solution mais sans fonction auxiliaire:
f est continue sur I, de plus f(0)=0 et f(1)=1, f prend donc toutes les valeurs de [0;1] c'est à dire de I. Or pour tout x appartenant à I, 1-x appartient à I.
Est-ce bon ?

Ce que tu dis est correct, mais cela ne répond pas du tout à la question : où obtiens-tu un réel x tel que f(x) = 1-x ???

[t.itou29]

Ce que tu dis est correct, mais cela ne répond pas du tout à la question : où obtiens-tu un réel x tel que f(x) = 1-x ???

Oui, je m'en suis rendu compte après. Ma deuxième réponse est fausse aussi ? Je viens de re-regarder le théorème des valeurs intermédiaires: si je prends a=0 et b=1, g(0)=-1 et g(1)=1 donc il existe un x dans [0;1] tel que g(x)=0. Je viens de commencer l'analyse j'ai un peu de mal.

[leon1789]

Pour la 2) à part qu'il existe au moins un point de Cf tel que x+y=1 je ne vois pas quoi dire.

oui, c'est ça : on peut dire que le graphe de f rencontre la droite x+y=1.

[t.itou29]

oui, c'est ça : on peut dire que le graphe de f rencontre la droite x+y=1.

Merci, j'ai du mal à répondre à ce type de question, où il faut prouver qu'il existe un x tel que...

[leon1789]

si je prends a=0 et b=1, g(0)=-1 et g(1)=1 donc il existe un x dans [0;1] tel que g(x)=0.

oui, c'est exact, et donc finalement ?

[t.itou29]

oui, c'est exact, et donc finalement ?

Donc l'équation f(x)=1-x admet au moins une solution sur [0;1] ?

[leon1789]

Donc l'équation f(x)=1-x admet au moins une solution sur [0;1] ?

oui ok. :lol3:

[t.itou29]

oui ok. :lol3:

Merci de ton aide et celle de chan79, je pense que je vais devoir resolliciter votre aide: j'ai une série d'exercices sur la continuité !