[Ts spé] Congruences

[Tiller]

Bonjour, alors voila.. je sèche complètement sur la fin d'un problème de math :/

Donc, voila d'où ce qu'on sait / que j'ai trouvé:
~ 2x² - 2x + 1 = 0 n'admet pas de solution réelle
~ -21, -13, 34, 112 sont solutions de : 2x² - 2x + 1 = 0 [5] (1)
~ Il existe un entier k tel que 2x² - 2x + 1 - 5k = 0
~ Et que donc, il existe un entier p tel que p² + 1 = 0 [10] car x1 et x2 de l'equation d'au dessus ce calcule avec racine de delta, et que delta = 4(10k - 1)
~ p est un nombre de la forme 10q + 3 ou de la forme 10q + 7

Voila donc tout ce que j'ai réussi a trouvé, et maintenant la question sur la quelle je bloque est:
Déterminer toutes les solutions de (1).

Voila.. si quelqu'un pouvait éclairer mon chemin, car je marche dans le noir la ;D

Merci!

[Tiller]

Étant deja en page 3, je me permet un petit "up", désolé si je n'ai pas le droit ^^'

[Huppasacee]

Les solutions sont les x1 et x2 racines de l'équation!

x1 = (1+p)/2
x2 =(1-p)/2

les 2 congruences de p ( 3 et 7 modulo 10 ) conduisent à des résultats identiques

[Tiller]

Huum, merci pour ta réponse, mais je ne comprend pas trop ^^'

Donc oui effectivement j'ai bien x1 et x2, mais je ne vois pas comment les exploiter ^^'

J'ai l'impression que j'ai la solution sous les yeux mais je ne la trouve pas...

Est-ce que tu pourrais détaillé un peu plus?

Merci ^_^

[Tiller]

Huppa? ^_^

[Huppasacee]

2x² - 2x + 1 - 5k = 0

les solutions réelles de cette équation sont


et

pour qu'elles soient entières , il est imperatif
qu'il existe p tel que défini plus haut

or les p en question sont de la forme
10q + 3 et 10q + 7

on remplace le racine de delta par les p et on trouve les solutions entières

en étudiant les 2 cas , on s'aperçoit que les solutions avec 10q + 7 sont identique à celles avec 10q + 3

donc 2 familles de solutions sortent

on peut vérifier ensuite , et essayer les autres possibilités pour voir qu'elles ne vont pas

[Tiller]

Haaaan c'était si simple u_u

Je te remercie pour tout!

Cordialement, Tiller :we: