[Spé] Congruences.

[Deluxor]

Bonsoir,

Un entier naturel dont le nombre de dizaines est noté et dont le chiffre des unités est noté s'écrit : .

On considère le nombre : .

1) a. Montrer que les solutions de l'équation sont les entiers x tels que .
b. Démontrer que est divisible par 19 si, et seulement si, est divisible par 19.

2) En utilisant plusieurs fois de suite cette équivalence, étudier si le nombre 29431 est divisible par 19.

3) Dans cette question, on ne considère que des naturels et non divisibles par 19.
a. Les nombres et peuvent-ils être congrus modulo 19 ?
b. On note et les restes respectifs des divisions de et par 19 ; déterminer une relation entre et .

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Est-ce un bon départ ? (rédaction / rigueur / raisonnement)

1)


or :



donc :
donc 19 et 10 sont premiers entre-eux.

et , donc, d'après le théorème de Gauss : .

Soit :

(Y a-t-il moyen de traiter cette question seulement par les congruences ?)

2)

















Donc :

[Le_chat]

1)


or :



donc :
donc 19 et 10 sont premiers entre-eux.

et , donc, d'après le théorème de Gauss : .

Soit :

(Y a-t-il moyen de traiter cette question seulement par les congruences ?)

C'est l'idée, mais c'est bien trop long. Tu sais bien que 10 et 19 sont premiers entre eux... Sinon, étant donné que tu as du invoquer le theorème de Gauss, je ne pense pas qu'on puisse résoudre ça uniquement avec des congruences.

Pour la question 2 c'est bien, mais bon tu ne penses pas que tu fais exactement la même chose pour => et <=, donc qu'une équivalence suffirait amplement?

[Deluxor]

Merci Le_Chat.

Pour la question 1, l'exerice se trouve dans le chapitre "congruences", où n'est pas évoqué le théorème de Gauss ; c'est pour ça que je me demandais comment résoudre cette question par les congruences. Cependant, j'ai vu depuis le théorème de Gauss, donc je pense que ma solution passera.

Sinon, en quoi le fait de prouver que 10 et 19 sont premiers entre-eux est pénalisant ?

Pour la question 2, je résous seulement par équivalence ? Vraiment pas besoin de double implication pour la prouver ?

[Deluxor]

Comment traiter la question 3)a. ?

J'ai trouvé que : 2N-N'=19D
Je pense qu'il faut isoler N, et prouver par l'absurde, je n'y arrive pas...