Congruences TS spé

[damien90]

exercice:

1) Vérifier que 7 divise les nombres suivants:
2^6 -1;
3^6 -1;
4^6 -1;
5^6 -1;

J'ai calculé chaque nombre et ai vérifié qu'ils étaient tous divisibles pas 7

2)
n est un entier naturel et Sn= 2^n + 3^n + 4^n + 5^n
Démontrer que S(n+6)-Sn est divisible par 7.
Là aussi, aucun problème, j'ai calculé, simplifié et factorisé, ça marche.

3)
n est un entier naturel et r est son reste dans la division euclidienne par 6.
Démontrer que S(n+6) est congru à Sr [7]

C'est là que je coince.
On a donc
n=6q+r
Sn = 7k+x
Sr=7k'+x
car si Sn est congru à Sr modulo 7, x est le reste de la division euclidienne de Sn et de Sr par 7.


Mais je vois pas vraiment quoi faire de ça...

[lapras]

salut,
Pour le 2),
sert toi des résultats précédent pour affirmer que :
2^(n+6) = 2^n [7]
3^(n+6) = 3^n [7]
donc que
Sn+6 - Sn = 0 [7]


Pour la 3),

Montre que les restes 3^n sont périodiques mod 6
ainsi :
si n = 0[6] <=> 3^n = 1 [7]
si n = 1[6] <=> 3^n = 3 [7]
si n = 2[6] <=> 3^n = 2 [7]
si n = 3[6] <=> 3^n = 6 [7]
si n = 4[6] <=> 3^n = 4 [7]
si n = 5[6] <=> 3^n = 5 [7]

Fais de même pour les reste modulo 7 de 2^n, 5^n et 4^n

ainsi, il vient assez rapidement
Sn = Sr [7]
d'où ton résultat :++: