[ Spe Math ] Congruence

[nxthunder]

Bonjour a tous,

Malgrè des recherches sur le site je n'ai pas trouver de sujets similaires au mien. Bon bref treve de bavardage.

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on se propose d'étudier l'existance de 3 entiers naturels x, y et z tels que :



1 ) Pour n = 2
Montrer que 1, 3 et 5 satisfont à la condition précédente :

Pour cela j'ai calculé d'un coté

avec x = 1 ; y = 3 et z = 5
Ceci donne donc :

Pui j'ai calculé :

pour n = 2 ; on a ainsi

Or

avec

Ainsi on a 35-3 = 32 et 32 est bien un multiple de 4 ( car )

2 ) Ensuite on suppose n = 3
a ) Soit m un entier naturel.

Voici le tableau ci contre :


où r est le reste de la division euclidienne de m par 8 et où R le reste de la division euclidienne de m² par 8. ( Seul la 1 ere ligne dans l'énoncé est donnée ; j'ai donc rajouté la seconde et la troisieme )

Explication des résultats :

On sait que : r est le reste de la division eucl. de m par 8

Donc peut écrire que : ( ce qui explique la 2 eme ligne du tableau )

Or dire que : R est le reste de la division eucli. de m² par 8

Donc que m² et R admettent le meme reste par 8 cela revient donc a écrire que

( ceci explique donc la 3 eme ligne MAIs est ce que mon raisonnement est juste ???? )


Enfin on demande si l'on peut trouver 3 entiers naturels x, y et z tels que



Réponse :




et 7 admettent le meme reste de la division par 8 autrement dit il suffit d'étudier la division de 7 par 8.

8 divise 7 reste = 0 donc x=y=z=0

Serait-ce juste ???

Merci de votre aide.

[BancH]

Je ne comprends pas ça:

8 divise 7 reste = 0 donc x=y=z=0

Si alors
Si alors
Si alors
Si alors
Si alors
Si alors
Si alors
Si alors

Les restes possibles d'un carré dans la division euclidienne par sont , et

Soient , et , les restes de , et dans la division euclidienne par et appartenant donc à l'ensemble

Alors

Donc il n'existe pas trois carrés dont la somme est congrue à modulo

[nxthunder]

>>>Soient X, Y et Z, les restes de x^2, y^2 et z^2 dans la division euclidienne par 8 et appartenant donc à l'ensemble (0,1,4)

Alors X+Y+Z\not= 7+8k<<<

Je ne comprends pas ton raisonnement; :hein:

[BancH]

Pour qu'il existe trois carrés dont la somme est congrue à 7 modulo 8, il faut qu'il existe trois restes dont la somme est aussi congrue à 7 modulo 8.

Les restes sont 0, 1 et 4, mais:

[nxthunder]

Ah ok je vois !!!!!

Merci bcp :++: