Congruence

[kiobiu]

Bonjour,

"Quels sont les chiffres des unités possibles pour le produit de quatre entiers naturels consécutifs?"
En faisant quelques calculs, je trouve 0 et 4 mais je suis incapable de le démontrer. Je sais juste que le produit est divisible par 1,2,3 et 4.

[annick]

Bonsoir,

je ne sais pas si c'est la bonne méthode, mais je montrerai cela comme ça :

Il n'y a que 10 combinaisons possibles pour la multiplication des chiffres des unités de 4 nombres qui se suivent et le résultat de la multiplication donne :

0,1,2,3==> 0
1,2,3,4==> 4
2,3,4,5==> 0
3,4,5,6==> 0
4,5,6,7==> 0
5,6,7,8==> 0
6,7,8,9==> 4
7,8,9,0==> 0
8,9,0,1==> 0
9,0,1,2==> 0

[Lostounet]

Salut,

Ou bien travailler sur le reste modulo 10 de:
N(n+1)(n+2)(n+3), ça revient au même que ce que propose Annick.

[nodjim]

Sauf que Annik ne prouve pas la périodicité, bien que la liste le suggère.

[annick]

Quelle périodicité ?

En ce qui concerne les quadruplets de nombres qui se suivent, le suivant est 0,1,2,3 et donc on est nécessairement reparti au premier et ainsi de suite.
En ce qui concerne l'apparition de 0 ou de 4 comme résultat, la question n'est pas posée puisque cette question est :"Quels sont les chiffres des unités possibles pour le produit de quatre entiers naturels consécutifs?"

[biss]

enfaite je pense que nodjim parlais d'une demonstration mathematique car c'est bien de prendre la calculatrice et de commencer a taper sans demontrer mais si la question ne demande pas de justification alors tu peux ecrire 0 et 4 mais si tu cherche un raisonnement mathematique utilise les congruence modulo 10 meme si c'est plus donc a toi de voir

[chan79]

enfaite je pense que nodjim parlais d'une demonstration mathematique car c'est bien de prendre la calculatrice et de commencer a taper sans demontrer mais si la question ne demande pas de justification alors tu peux ecrire 0 et 4 mais si tu cherche un raisonnement mathematique utilise les congruence modulo 10 meme si c'est plus donc a toi de voir

Pour moi, la démonstration d'Annick est parfaitement correcte puisque tous les cas sont envisagés.
On pourrait aussi dire:
Si, parmi les 4 nombres consécutifs, il y a un multiple de 5, celui-ci se termine par 0 ou 5 et dans les deux cas, le chiffre des unités du produit sera 0 car il y a un nombre pair parmi les 4.
Sinon les quatre nombres sont encadrés par des multiples de 5 et on se trouve dans l'une des deux situations:
0 1 2 3 4 5
5 6 7 8 9 0

et on vérifie que le produit finit bien par 4 dans ces deux cas.

[nodjim]

Chan79, c'est bon. A la nuance près que tu ne dis pas clairement que tu travailles modulo 10. C'est la même réserve que pour Annick. Si ce n'est pas dit, on est obligé d'aller voir le produit 11*12*13*14 et 16*17*18*19 et....

[nodjim]

Quoique que Annick parle bien de la multiplication des chiffres des unités, ce qui implicitement ramène au modulo 10. Mais ce serait bien de justifier la multiplication du chiffre des unités....

[chan79]

Quoique que Annick parle bien de la multiplication des chiffres des unités, ce qui implicitement ramène au modulo 10. Mais ce serait bien de justifier la multiplication du chiffre des unités....

tu as raison; le chiffre des unités du produit de deux nombres est égal au chiffre des unités du produit des chiffres des unités de ces deux nombres !
Pas si facile à exprimer, même si "ça se voit bien" quand on pose une multiplication.

[kiobiu]

Merci pour vos réponses. J'aurais du mentionner le titre de l'exercice qui est: "2 fois 5 égal 10", donc je pense que chan est le plus proche de ce qui es attendu, bien que les congruences ne soient pas utilisées.