Congruence

[Tir McDohl]

Bonsoir, j'ai du mal avec les secondes questions de deux exos dont je ne vois vraiment les solutions.

-Dans le premier exo je dois démontrer deux congruences:
1. 15^5-3^5 = 0 [mod 12]

Celui-là je fais 15^5=(12+3)^5, si je le développe je n'ai que des multiples de 12 et 3^5 qui reste, annulé par le -3^5 de l'opération. Le reste modulo 12 est donc 0.

2. 9^10-5^10 = 0 [mod 7]
Ici, cette petite astuce ne semble pas fonctionner, je ne vois pas comment m'y prendre.


-Dans le second exo j'ai:
1. 5^n = 1 [mod4]
Je fais comme l'autre: 5^n = (4+1)^n en developpant j'ai que des multiples de 4 il me reste 1.

2. 20^2n= 1[mod6]
Je vois pas du tout comment faire.

Merci d'avance de votre aide.

[Ben314]

Pour le 2, peut être en disant que 9=7+2 et que 5=7-2 ou, si tu préfère, en disant juste que 9=2x7-5

Pour le dernier, ça m'étonnerais fort que 20^(2n) qui est pair (si n est >0) puisse être congru à 1 modulo 6 vu que tout les nombre de la forme 6k+1 sont impairs. (quand tu as des doutes dans un exo avec des n, regarde ce que ça donne pour n=0, n=1, n=2 : là, déjà pour n=1, ça ne marche pas)

[capitaine nuggets]

Salut !

Bonsoir, j'ai du mal avec les secondes questions de deux exos dont je ne vois vraiment les solutions.

-Dans le premier exo je dois démontrer deux congruences:
1. 15^5-3^5 = 0 [mod 12]

Celui-là je fais 15^5=(12+3)^5, si je le développe je n'ai que des multiples de 12 et 3^5 qui reste, annulé par le -3^5 de l'opération. Le reste modulo 12 est donc 0.

2. 9^10-5^10 = 0 [mod 7]
Ici, cette petite astuce ne semble pas fonctionner, je ne vois pas comment m'y prendre.

1. Remarque que
2. Remarque que et

-Dans le second exo j'ai:
1. 5^n = 1 [mod4]
Je fais comme l'autre: 5^n = (4+1)^n en developpant j'ai que des multiples de 4 il me reste 1.

2. 20^2n= 1[mod6]
Je vois pas du tout comment faire.

Merci d'avance de votre aide.

1. Tu te compliques la vie :
2. Il y a un problème avec ton énoncé : si , alors

[Tir McDohl]

Oui pardon c'est en fait moi qui me suis trompé lorsque j'ai tapé, c'est 29^2n= 1[mod6] en réalité.

Merci de vos réponses pour la seconde question de l'exo 1, je pense avoir saisi le principe.
Par contre, je ne sais toujours pas trop pour ce 29^2n.

[chan79]

Oui pardon c'est en fait moi qui me suis trompé lorsque j'ai tapé, c'est 29^2n= 1[mod6] en réalité.

Merci de vos réponses pour la seconde question de l'exo 1, je pense avoir saisi le principe.
Par contre, je ne sais toujours pas trop pour ce 29^2n.

29²=841=6*140+1
29² et 29^(2n) sont donc congrus à 1 (mod 6)

[Tir McDohl]

Je vois, je me sens bête de pas avoir pensé que 29^2n était déjà (29²)^n et que je pouvais commencer par calculer le carré. Ca parait beaucoup plus simple maintenant. Au final la difficulté c'est juste le calcul, puis de poser la division euclidienne à la main comme au cm1.
Merci pour l'aide.

[annick]

Bonjour,

personnellement, pour 29^2n, je serai restée avec les congruences dès le départ :

29=5[6] (car 29=6*4+5)

29²=1[6] (car congru à 5², soit 25 qui est égal à 6*4+1)

donc (29²)^n=1[6] (car 1^n=1)

[Ben314]

A mon avis, tant qu'à faire d'utiliser des congruences, il me semble que évite tout calculs supplémentaire (ou, si tu préfère ta méthode avec des "trucs qui s'éliminent", tu part de 29=5x6-1)