Complexes

[Anonyme]

Bonjour! j'ai un exercice à faire, et il y a quelques questions que je n'arrive pas à résoudre! donc si quelqu'un peut m'aider, cela serait super gentil

Partie A :

Le plan complexe est rapporté à un repère orthonormal direct (O ;u ;v).
Soit P le point d’affixe p où p=10 et T le cercle de diamètre [OP].
On désigne par Oméga le centre de T.
Soit A, B, C les points d’ affixes respectives a, b et c où a=5+5i, b=1+3i, et c=8-4i.

1]Montrer que A ;B et C sont des points du cercle T.

2]Soit D le point d’affixe 2+2i. Montrer que D est le projeté orthogonal de O sur la droite (BC).


Partie B :

A tout point M du plan différent de 0, d’affixe z, on associe le point M’ d’affixe z’ tel que :
z’=20/le conjugué de z

1]Montrer que les points O, M et M’ sont alignés.

2] Soit Delta la droite d’équation x=2 et M un point de Delta d’affixe z.

a)Vérifier que z+(le conjugué de z)=4

b)Exprimer z’+(le conjugué de z’) en fonction de z et (le conjugué de z) et en déduire que 5(z’+(le conjugué de z’))=z’*(le conjugué de z’)

c)En déduire que M’ appartient à l’intersection de la droite (OM) et du cercle T.




alors :
A 1] j'ai réussi

2] j'ai également réussi

B 1] je n'arrive pas à terminer. j'ai dit que O, M et M' étaient alignés ssi OM et OM' sont colinéaires.
donc j'ai M' d'affixe z'=20/(le conjugué de z)
d'où z'/z=20/|z|²
mais après, je n'arrive pas à conclure... :S

2] a) j'ai réussi
b) j'ai z'+(le conjugué de z')= 20((1/z)+(1/(le conjugué de z)))
et après, je n'arrive pas à continuer...
c) et là je ne sais pas comment répondre à cette question...


merci d'avance!
kevin

[becirj]

Bonsoir
B. 1. est un réel k d'après le calcul fait .
z' est l'affixe de et z est l'affixe de . On a donc ce qui prouve que les points O,M et M' sont alignés.

[becirj]

B.2)
donc
On en déduit que :

c) En utilisant la relation démontrée en b) et la forme algébrique de z', on peut retrouver l'équation d'un cercle qui est .

[Anonyme]

merci becirj pour tes réponses...
mais, peux tu m'expliquer comment tu fais pour passer de la 1ère ligne à la 2ème pour la question 2)b ??
enfin, est ce que quelqu'un peut m'expliquer le développement pour effectuer cette question, car je ne comprend pas du tout...
merci d'avance!

[becirj]

Bonjour
donc

De cette relation , on déduit que
et en reportant dans la première égalité, on obtient :


c) Posons


En reportant dans l'égalité obtenue en b) on obtient




Ceci est l'équation d'un cercle ayant pour centre le point de coordonnées (5,0) et pour rayon 5.
M' appartient donc au cercle T et comme les points O,M,M' sont alignés , M' appartient à l'intersection du cercle T et de la droite (OM)

[Anonyme]

merci énormément becirj!
j'ai enfin pu finir ce DM en comprenant ce que j'écrivais!!

mais il y a encore une dernière chose sur laquelle j'ai besoin que l'on m'éclaire : à la fin, il est demandé de tracer sur la figure le point M' ...
et je n'y arrive pas! pourtant je sais que le point M' est l'intersection entre le cercle T et la droite (OM), ms je ne connais pas le point M .. dc cela ne m'avance pas!
pouvez vous m'expliquer comment je dois tracer ce point?! car je n'y arrive vraiment pas...
merci d'avance

[becirj]

Il faut faire tout simplement une construction en prenant un point M quelconque de la droite puisque ce qui a été montré dans les questions B. 2 a) b) et c) est valable pour un point M dela droite

Bonne Année 2006

[Anonyme]

merci énormément becirj!
bonne année 2006 à toi aussi !