Complexes

par **Anonyme** » 28 Aoû 2005, 00:53

Bonjour !

j'ai l'énoncé suivant :

Résoudre 1+z+z²+(z^3)+(z^4)+(z^5)=0.

ai-je le droit d'appliquer la somme des termes d'une suite géométrique en z ou pas ?

1 - z^4
___________ = 0
1 - z

soit 1 - z^4 =0

Merci de votre contribution !

par **Anonyme** » 28 Aoû 2005, 05:25

Oui, tu as le droit.
Mais à condition :
1) de vérifier les hypothèses (à savoir z différent de 1)
2) de ne pas de tromper en écrivant la formule !

La propriété est la suivante :
Soit z un complexe différent de 1, et n un entier naturel. Alors

Pourquoi est-elle vraie aussi pour les complexes ?
Parce que la démonstration classique, par récurrence sur n, est vraie que z soit un entier naturel, un réel ou un complexe.
Vérifons-le. Soit z complexe différent de 1.
Montrons par récurrence sur n la propriété

P(0) est vraie :

Supposons P(n) vraie et montrons que P(n+1) est vraie.

CQFD

Dans ton équation de départ, tu vois que 1 n'est pas solution. Donc :

, z différent de 1

z est l'une des 5 racines 6ième de l'unité différentes de 1

Sauf erreur.

Nicolas

par **Anonyme** » 28 Aoû 2005, 19:47

Oups...dsl pour la faute..malencontreuse..
Merci bien pour cette petite précision qui me tourmentait !
Au plaisir et merci encore ! :-)

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