Complexes

par **lapras** » 17 Aoû 2007, 13:25

Bonjour à tous, je me suis mis aux complexes et j'ai deux petites questions :
Peut on démontrer la formule de moivre en n'utilisant pas la récurrence, donc je suppose par le binôme de newton ?

je souhaite trouver une expression de cos(2x)
on sait que
(cos(x)+isin(x))^2 = cos(2x) + isin(2x)

donc que cos(x)² + 2*cos(x) * i*sin(x) + (isin(x))² = cos(2x) + isin(2x)

comme i² = -1 ,

cos(x)² + 2*cos(x) * i*sin(x) + -sin(x)² = cos(2x) + isin(2x)
Apres wikipédia dit : "on égalise les parties imaginaires", pourquoi ?
je veux résoudre ca sans utiliser de formules trigonométriques.

:++:
bye, a ce soir

par **anima** » 17 Aoû 2007, 13:30

lapras a écrit:Bonjour à tous, je me suis mis aux complexes et j'ai deux petites questions :
Peut on démontrer la formule de moivre en n'utilisant pas la récurrence, donc je suppose par le binôme de newton ?

Bien entendu, en passant par la forme exponentielle d'un complexe; je m'explique:

Des lors,

Cependant,

(propriete de l'expo)
Et donc,

Pour avoir la "vraie" formule de moivre, rajoute le module :ptdr:

par **anima** » 17 Aoû 2007, 13:31

lapras a écrit:cos(x)² + 2*cos(x) * i*sin(x) + -sin(x)² = cos(2x) + isin(2x)
Apres wikipédia dit : "on égalise les parties imaginaires", pourquoi ?
je veux résoudre ca sans utiliser de formules trigonométriques.

Je sais que tu n'as pas de cours, donc je ne vais pas etre mechant: deux complexes sont egaux ssi leurs parties imaginaires et reelles sont egales 2 a 2.

Exemple: a+ib = a'+ib' ssi a=a' et b=b'

par **fonfon** » 17 Aoû 2007, 13:45

salut,

(d'apres Moivre)
on developpe soit:

on prend la partie réelle de ce developpement on a donc:

A+

par **lapras** » 17 Aoû 2007, 14:43

Ok merci à ,vous deux, j'ai compris. Mon "cour" expliquait tout vaguement et n'avait pas dit que deux complexes étaient égaux si leur partie réel était égale, par contre c'est vrai que c'est assez logique !
Pour la démo avec les exponentielles, je n'ai pas regardé anima, juste parce que je n'ai pas encore vu les exponentielles : je viens juste de trouver un site avec quelques cours que je n'ai pas encore regardé.

par **anima** » 17 Aoû 2007, 14:54

lapras a écrit:Ok merci à ,vous deux, j'ai compris. Mon "cour" expliquait tout vaguement et n'avait pas dit que deux complexes étaient égaux si leur partie réel était égale, par contre c'est vrai que c'est assez logique !

réelle et complexe.

Pour la démo avec les exponentielles, je n'ai pas regardé anima, juste parce que je n'ai pas encore vu les exponentielles : je viens juste de trouver un site avec quelques cours que je n'ai pas encore regardé.

Bah, tu sais hein...

:we:

par **cesar** » 17 Aoû 2007, 14:55

anima a écrit:Bien entendu, en passant par la forme exponentielle d'un complexe; je m'explique:

Des lors,
Cependant, (propriete de l'expo)
Et donc,

Pour avoir la "vraie" formule de moivre, rajoute le module :ptdr:

je suis pas sur que cette demo soit correcte : anima demontre la formule de moivre à partir d'une des consequences....de la formule de moivre..... :look2:

par **anima** » 17 Aoû 2007, 15:28

cesar a écrit:je suis pas sur que cette demo soit correcte : anima demontre la formule de moivre à partir d'une des consequences....de la formule de moivre..... :look2:

La forme exponentielle découle d'Euler et non pas de Moivre :hum:

par **sue** » 17 Aoû 2007, 17:00

De Moivre , m'enfin..

par **cesar** » 17 Aoû 2007, 20:21

anima a écrit:La forme exponentielle découle d'Euler et non pas de Moivre :hum:

je sais, c'est euler qui a montré que cos(x) + i sinus(x) =exp(ix), mais pas cette formule (celle que tu utilises (cos(x)+isin(x))^n = exp(inx)) : elle a été demontrée pour l'exponentielle reelle, alors que pour la complexe, il faut passer par moivre....), si tu connais une demo qui ne passe pas par moivre, dis le moi, ne me laisse pas mourrir idiot... :help:

par **anima** » 17 Aoû 2007, 20:22

cesar a écrit:je sais, c'est euler qui a montré que cos(x) + i sinus(x) =exp(ix), mais pas cette formule (celle que tu utilises (cos(x)+isin(x))^n = exp(inx)) : elle a été demontrée pour l'exponentielle reelle, alors que pour la complexe, il faut passer par moivre....), si tu connais une demo qui ne passe pas par moivre, dis le moi, ne me laisse pas mourrir idiot... :help:

D'accord; eh bien, je me coucherai moins bete moi! :zen:

par **Joker62** » 18 Aoû 2007, 02:09

Mais au lycée, e^(ix) c'est juste une "notation" pour écrire plus vite cos(x) + i.sin(x) si je n'm'abuse, donc en gros, ça n'a aucun sens de le démontrer en utilisant les propriétés de l'exponentielle vu que c'est qu'une notation...

Enfin j'dis ça j'dis rien :)

par **lapras** » 18 Aoû 2007, 10:02

ca m'interesse, j'aimerais bien en etre sur. :we:

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