Complexes

[titine]

Bonjour.
Je suis désolée, j'ai déja posé mon exercice tout à l'heure sans résultat.
Je me permets donc de recommencer en me disant que ce ne sont pas toujours les mêmes personnes qui son connectées ...
Je dois démontrer que ABC est équilatéral ssi a²+b²+c²=ab+bc+ac. Où a,b et c sont les affixes de A, B et C.
J'ai réussi dans les sens direct mais avec des calculs assez horribles et qui ne me donne pas l'équivalence. (J'ai dit que B est l'image de A par la rotation de centre I et de d'angle 2pi/3, I ayant pour affixe 1/3(a+b+c). Donc b-(1/3)(a+b+c)=exp(2ipi/3)(a-(1/3)(a+b+c). De même avec C et A ..)
Par contre je n'ai pas réussi à démontrer la réciproque.
Vos suggestions seront les bien venues.
Merci.

[titine]

Est ce vraiment si difficile ?

[armor92]

Bonsoir titine,

Dire que le triangle ABC est équilatéral est équivalent à la proposition :
C est l'image de B par la rotation de centre A d'angle + Pi/3
ou
C est l'image de B par la rotation de centre A d'angle - Pi/3

Ceci peut se traduire par la relation sur les complexes :
c - a = exp(i Pi/3) (b - a)
ou
c - a = exp(-i Pi/3) (b - a)

Cette condition est équivalente à :
((c - a) - exp(i Pi/3) (b - a))((c - a) - exp(-i Pi/3) (b - a)) = 0
On peut transformer cette égalité :
(c - a)² -(c - a)(b - a)(exp(i Pi/3) + exp(-i Pi/3)) + (b - a)² = 0
(c - a)² -(c - a)(b - a)+ (b - a)² = 0
c² - 2ac + a² - cb + ab + ac - a² + b² -2ab + a² = 0
a² + b² + c² - ab - ac -bc = 0

Il faut noter qu'on a raisonné ici que par des équivalences;

Cordialement

[titine]

Merci beaucoup !