Complexes

[armor92]

Bonjour,

1.a.
Comme z1 est l'affixe du point M1 et M1 est l'mage du point M par une rotation de centre O et d'angle pi/3, on déduit que :
z1 = e^(i pi/3) z
Comme z' est l'affixe du point M' et M' est l'image du point M1 par la translation de vecteur -u, on déduit que :
z' = z1 - 1

Des deux relations on déduit que : z' = e^(i pi/3) z - 1

1.b.
B a pour affixe zb = 1 - i Racine(3)/2 = cos(-i Pi/3) + i sin(- i Pi/3) = e^(-i pi/3)
L'image de B a pour affixe zb' = e^(i pi/3) zb - 1 = 1 - 1 = 0
L'image de B est donc le point O

1.c.
L'affixe z du point M invariant par T vérifie :
z = e^(i pi/3) z - 1

z(1 - e^(i pi/3)) = - 1
z(e^(i pi/3) - 1) = 1
e^(i pi/3) - 1 = -1/2 + Racine(3)/2 i = e^(2 i pi/3)

Donc z = e^(- 2 i pi/3) = -1/2 - Racine(3)/2 i
Le point M invariant a pour coordonnées : (- 1/2, - Racine(3)/2)

[armor92]

2. a.
z'=e^(i pi/3)*z-1

z'/z = e^(i pi/3) - 1/z
Si z = x + i y, 1/z = (x - i y) / (x² + y²)

Donc :
z'/z = 1/2 + i Racine(3/2) - (x - i y) / (x² + y²)
La partie réelle du quotient z'/z est : 1/2 - x / (x² + y²)
Ce qui peut se réécrire :
((x² + y²) -2x) /(2(x² + y ²))

2. b.
Le triangle OMM' est rectangle en O peut se traduire par :
angle(M'OM) = Pi/2 ou angle(M'OM) = -Pi/2
angle(M'OM) = arg(z') - arg(z) = arg(z'/z)
On doit donc avoir :
arg(z'/z) = Pi/2 ou arg(z'/z) = -Pi/2
Cette condition peut s'exprimer par :
Partie réelle de z'/z = 0 et z != 0 et z' != 0
ou encore :
(x² + y²) -2x = 0 et z != 0 et z' != 0

La condition (x² + y²) -2x = 0 peut se réécrire :
(x - 1)² + y² - 1 = 0, c'est à dire (x - 1)² + y² = 1
(x - 1)² + y² = 1 est l'équation d'un cercle de centre (1,0) et de rayon 1

On doit exclure de ce cercle le point M=O et le point M=B pour (en effet si M=B, M'=O)

[armor92]

une petite question , je voudrais savoir si z ! signifie z barre?

Non z != 0 signifie z différent de 0,
je ne savais pas comment ecrire le signe différent autrement