Complexes

[Cher93]

Bonsoir ! Pouvez-vous m’aider à résoudre cet exercice et merci d’avance !
Soit le polynome complexe
P(z)=(z^2 +3z)^2 + (3z+5)^2

1.Factoriser P(z) en un produit de deux polynomes du second degré à coefficients complexes!!

[aviateur]

Bonjour
p(z)=(z^2+2 z+5) (z^2+4 z+5)
Ce n'est pas la seule factorisation possible mais c'est la plus simple.

[Cher93]

Comment l’avez-vous trouvé ??

[LB2]

identité remarquable A^2+B^2=(A+iB)(A-iB)
avec A et B complexes

[LB2]

la factorisation d'aviateur est probablement juste mais probablement difficile à justifier/obtenir avec les outils dont tu disposes à ton niveau.

[Cher93]

D’accord! Je vois! N-y’a-t-il alors pas d’autres façons pour le factoriser ?
Une methode plus facile et à faire dans d’autres types d’exercic ?

[Pisigma]

Bonsoir,

développe P(z)=(z^2 +3z)^2 + (3z+5)^2 (1)

P(z)peut aussi s'écrire sous la forme (z^2+a z+b)(z^2+c z+d) à développer, d'où une autre relation (2)

(1)=(2) ==> par identification tu peux trouver a, b, c et d

[mathelot]

bonsoir,
le polynôme P se factorise grâce à l'identité remarquable



les deux trinômes ont des coefficients conjugués. Si est racine de l'un, est racine de l'autre.

résolvons le premier:

le discriminant vaut:

d'où ce qui conduit aux deux racines:
et

pour le second trinôme:

d'où deux racines:
et




d'où

[Pisigma]

la méthode de mathelot déjà suggérée par LB2 est évidemment plus classique, beaucoup plus rapide , moins "calculatoire", et attendue par ton professeur

[pascal16]

Pour éviter les embrouilles d'identités :
P(z)=(z^2 +3z)² + (3z+5)²
P(z)=(z^2 +3z)² - (i(3z+5))²
par identité remarquable déjà connue dans R
P(z)=[(z^2 +3z)- i(3z+5) ]*[(z^2 +3z)+ i(3z+5) ]

[mathelot]

@Pisigma
supposons le polynôme factorisé

où sont les quatre racines.
il y a 3 façons de le factoriser par des trinômes du second degré.
j'ai l'impression que ta méthode d'identification des coefficients conduit à une
équation de degré 3 ?

[Pisigma]

@mathelot

sauf erreur de ma part, je n'obtiens pas d'équation du 3e degré

a+c=6(1)
b + a c + d=18(2)
b c+a d =30(3)
b d = 25(4)

je tire c de (1) et d de (4); en remplaçant dans (2) et (3) et après des calculs un peu longs, je retrouve les résultats

mais je ne pense pas que ce soit la bonne méthode à utiliser dans ce cas précis

[mathelot]

@Pisigma : merci pour ta réponse, je regarde ça tout à l'heure.

[Ben314]

Salut,

développe P(z)=(z^2 +3z)^2 + (3z+5)^2 (1)
P(z)peut aussi s'écrire sous la forme (z^2+a z+b)(z^2+c z+d) à développer, d'où une autre relation (2)
(1)=(2) ==> par identification tu peux trouver a, b, c et d

Avant de se lancer bille en tête dans des calculs, c'est plus que pas con de commencer par réfléchir un peu.
Ton polynôme P de degrés 4 (et unitaire), il se factorise forcément dans sous la forme
Donc si tu cherche de façon algébrique des nombres tels que tu doit bien évidement trouver SIX solution :


etc . . .
Et la seule façon d'obtenir moins de six solution, c'est d'utiliser des arguments non algébriques (*) permettant par exemple de ne chercher que des solutions avec a,b,c,d réels ce qui va imposer de regrouper la première racine choisie pour avec celle qui lui est conjuguée. Ce qui ne donnera plus que deux solutions.

(*) i.e. autre chose que des "calculs" (longs ou pas longs)

[Pisigma]

je viens de redévelopper et je ne retombe plus sur "mes pattes" merci Ben314

[mathelot]

Donc si tu cherche de façon algébrique des nombres tels que tu doit bien évidement trouver SIX solution :

je ne trouve que 3 solutions,i.e, comment combiner (associer) avec les trois autres facteurs

[Pisigma]

mathelot Wolfram trouve 2 séries de 4 valeurs réelles,

et 4 séries de valeurs complexes, ce qui correspond bien aux 6 valeurs signalées par Ben 314

à la main les calculs sont très lourds même pour les valeurs réelles, je n'ai pas eu le courage de calculer les valeurs complexes

[pascal16]

pour la racine de delta dans C : une calculette ou un programme complexe fait l'affaire et les solutions sont quasi aussi rapides que dans R.

[chan79]

bonsoir,
le polynôme P se factorise grâce à l'identité remarquable

salut
on demande un produit de deux polynômes à coefficients complexes
L'égalité ci-dessus convient.
Il faut voir les questions suivantes.

[Ben314]

je ne trouve que 3 solutions,i.e, comment combiner (associer) avec les trois autres facteurs

En terme de factorisation de P sous forme de produits de deux facteurs du second degré, il n'y a bien que 3 solutions.
Par contre si ce qu'on te demande, c'est le nombre de solution en terme de quadruplet (a,b,c,d) tels que P(z)=(z^2+az+b)(z^2+cz+d), là, ça fait bien 6 vue la symétrie des rôles de (a,b) d'un coté et de (c,d) de l'autre.
Donc le système de 4 équations à 4 inconnues de Pisigma :
a+c = alpha (1)
b + a c + d = beta (2)
b c+a d = gamma (3)
b d = delta (4)
Admet bien 6 solutions, c'est à dire que si tu le résous formellement, par exemple uniquement par substitution jusqu'à n'avoir plus qu'une seule variable, ben tu aura sous les yeux un polynôme de degré 6.