Un truc "marrant" (si on peut dire), c'est que si on fait ce que dit aviateur, c'est à dire qu'on ne cherche pas vraiment à
résoudre le système en (a,b,c,d) vu qu'on sait d'avance que ça va être compliqué, mais qu'on cherche uniquement à voir s'il n'y aurait pas UNE "solution évidente" (ce qui, vu la finalité du système est largement suffisant), ben on trouve très rapidement et miraculeusement une solution.
Sauf erreur (à vérifier . . .) c'est lié au fait que parmi les 3 factorisations possibles, il y a celle là :
chan79 a écrit:^2+(3z+5)^2=(z^2+2z{\red +5})(z^2+4z{\red+5}))
dans laquelle b=d (
=5) qui provoque dans les calculs qu'on se rend assez rapidement compte que b (ou d) = 5 est une solution du bidule indépendamment du choix de a et c.
Je me demandais s'il y avait un truc un peu général à en tirer concernant certain type particulier de polynômes de degré 4 (et si c'est lié à quelque chose de particulier concernant la théorie de Galois).
Pour mémoire, je rappelle qu'une des façon de présenter la méthode de Ferrari pour résoudre les équations du 4em degré, ça consiste à commencer par faire un changement de variable X=Y+Cst pour écrire l'équation sans termes en
:
puis à chercher (a,b,c,d) tels que
(X^2\!+\!cX\!+d))
où l'absence de terme en
implique que
et donc que le polynôme de degré 6 déterminant les valeurs possible de
va être pair ce qui fait que c'est gagné modulo de savoir résoudre les équations du 3em degré.
Bref, ici, on est dans un cas "un peu du même type" où à la place de c=-a, on a b=d (mais uniquement pour une des solutions et pas pour toutes) ce qui permet de ne pas tomber sur une équation du 6em degré quelconque, mais sur un truc possédant une solution "évidente".
