Complexes

[Reznov]

Bonjour à tous et à toute.

Alors voilà j'ai un exercice à faire pour Lundi sur les complexes mais je ne comprends absolument rien aux questions suivantes:

La plan complexe est reporté à un repère orthonormé.
On note A,B,C,D les points d'affixes respectives:

Za= iV3 ; Zb= Za barre ; Zc= 3 + 2iV3 ; Zd= Zc barre

(V3 se lit racine de 3)

a ) montrer que les 4 points A,B,C et D appartiennent à un même cercle de centre le point oméga d'affixe 3.

b) on note E le symétrique de D par rapport à O

c) déterminer la forme algébrique de Z= (Zc - Zb) / (Ze - Zb)

d) donner une forme trigo du nombre Z

e) en déduire la nature du triangle BCE

C'est surtout les 3premieres qui bloques. Mais je pense que la question b, n'est pas une question.

Merci d'avance de votre aide.

[annick]

Bonjour,
pour la première question,il faut que tu calcules les modules de O1A, O1B, O1C, O1D (j'ai mis O1 car je ne sais comment écrire omega)

[Reznov]

za barre, c'est -iV3 non ?

[annick]

Oui, c'est cela.

[Reznov]

Je trouve pour Za, son module est V3
Pour Zb, je trouve V3
Pour Zc, je trouve V21
Pour Zd, je trouve V21

Que dois je faire ensuite stp ?

[annick]

ce n'est pas le module de zA que tu dois calculer, mais celui de omegaA. De même pour les autres.

z(omegaA)=zA-zomega

[Reznov]

A oui, excuses moi :(

[Reznov]

Je trouve pour Za-z omega = V12
zb - z O = V12

par contre, je bloque pour zc - O

[Reznov]

nan je bloque pas au fait:
Je trouve Zc-O= V12
Zd-0 = V12

[Reznov]

Je peux rien déduire de cela puisque que V12 = 3.46

[annick]

Si, tu n'as pas besoin de la valeur : tu sais que les points A, B, C, D sont à la même distance V12 de omega, donc ils sont tous sur un même cercle de centre omega. (tu feras attention dans ta rédaction de bien mettre omega et non O, car O est le centre du repère.

[Reznov]

D'accord merci annick.

Pour la question c) Z= (zc - zb) / (ze - zb)
Z= (3+ 2iV3 + iV3) / (3 +iV3) je fais la technique du conjugé et je trouve à la fin.

Z= (9 + 3V3) / ( 9 +V3) + V3 / ( 9 +V3) i

Mais je sais pas si j'ai bon déjà à ce résultat ou si il faut que je simplifie encore.

[annick]

qu'est-ce que tu avais trouvé pour zE ? (as-tu vérifié que ce que tu as trouvé était juste sur une figure ?

D'autre part, lorsque tu as (3+ 2iV3 + iV3), ça s'arrange un peu en 3+3iV3.

Et sur ta dernière ligne je ne comprends pas bien ta formule.

[Reznov]

Ze est l'opposé de zc donc Ze= - ( 3 + V2 )


on a alors: 3 + 2iV3 + iV3 / 3 + iV3
= 3 +3iV3 / 3 + iV3
= (3+3iV3)(3-iV3) / (3+iV3)(3-iV3) technique du conjugué
=6iV3 + 9 + 3V3 / 9+V3
= 9 + 3V3 + 6iV3 / 9 + V3
= (9 + 3V3) / (9 + V3) + (6V3) / ( 9+V3) i

Voilà comment j'ai obtenue mon résultat dit précédemment :)

[Reznov]

C'est repartis pour une nouvelle journée de travail.
Il me reste juste à avoir le forme algébrique et je pourrais normalement réussir les 2 prochaines questions assez aisément.
Mais je ne suis pas sur de la réponse donné précédemment :(

[annick]

Pour moi, E est le symétrique de D par rapport à O.
zD=3-2iV3 donc

zE=-3+2iV3

Z= (Zc - Zb) / (Ze - Zb)

Z=(3+2iV3+iV3)/(-3+2iV3+iV3)

Z=(3+3iV3)/(-3+3iV3)

On peut simplifier par 3 :

Z=(1+iV3)/(-1+iV3)

Ensuite, rendre le dénominateur rationnel en multipliant par la quantité conjuguée.

[Reznov]

Question: iV3 * (-iV3) = 3 ?

[Reznov]

A la fin du calcul avec la méthode du conjugué je trouve en simplifiant au dénominateur:

(1/2) - (V3)/2 i


Donc V((1/2)²+(-(V3)/2)²)
= 1

Donc le module est z est 1

Soit z un argument alors:
on a cos = 1/2
sin = -(V3) / 2

On a une relation trigo de la forme [cos(- pi/3)+isin(- pi/3)]

Est ce exact jusqu'à là ?

[Reznov]

Par la même occasion je peux déduire la nature du triangle BCE.

En effet, d'une part ,[ (zc-zb) / (ze-zb) ] = 1

Alors [ (zc-zb) ] / [ (ze - zb) ] = 1

Donc BC / EB = 1

Finalement BC = AB


D'autre part, arg [ (zc-zb) / (ze-zb) ] = -pi / 3

= ( BA; BC ) = -pi / 3 [2pi]


On peut conclure que le triangle est isocèle et possède un angle de pi / 3, c'est donc un triangle équilatéral.

Voilà, le raisonnement est-il correct, merci d'avance :)