Complexes

[patatedouce]

1. Pour tout nombre complexe z, on considère f (z)=z4;)10 z3+38 z2;)90 z+261 .
a. Soit b un nombre réel. Exprimer en fonction de b les parties réelle et imaginaire de f (ib).
En déduire que l’équation f (z) = 0 admet deux nombres imaginaires purs comme solution.
b. Montrer qu’il existe deux nombres réels a et b , que l’on déterminera, tels que, pour tout nombre complexe z,
f (z)=(z2+9)(z2+a z+b) .
c. Résoudre dans l’ensemble des nombres complexes l’équation f (z)=0 .

2. Le plan complexe P est rapporté à un repère orthonormal.
a. Placer dans le plan P les points A, B, C et D ayant respectivement pour affixes : a = 3i, b = ;)3i, c = 5 + 2i et d = 5 ;) 2i.
b. Déterminer l’affixe de l’isobarycentre G des points A, B, C, D.
c. Déterminer l’ensemble E des points M de P tels que : ;););)MA+;)MB+;)MC+;)MD;);)= 10 .

Bonjour voilà l'énoncé de l'exercice et j'ai un problème de compréhension face à la première question . dans l'équation il n'y a que des z . faut - il remplacer z par b ? ou remplacer z par x+iy puis y par b ? je ne vois pas trop comment faire :( si vous pouviez m'aider à mieux comprendre la question ce serait gentil . merci .

[JackeOLanterne]

Q1. Trouve l'image par f de z = ib, ce qui permet d'identifier x et y à Re(z) et Im(z) par substitution.

[Sylviel]

On récapitule :
z est un nombre complexe. On définit un polynome qui te prend donc un complexe z et en fait un complexe f(z)=z'= z^4;)10 z^3+38 z^2;)90 z+261

b est un nombre réel, c'est donc a fortiori un complexe. Du coup tu peux calculer
f(b) = b^4;)10 b^3+38 b^2;)90 b+261...

Sauf que là on te demande
f(ib)=...
ce qui ne change presque rien, à un i près. Comme b est réel, b^2, b^3 et b^4 vont l'être aussi. Donc tu pourras identifier la partie réelle et la partie imaginaire de f(ib)...

A toi !

[patatedouce]

j'ai trouvé f(ib) = (ib)^4 - (10ib)^3 + (38ib)^2 - 90i + 261
= b^4 + 1000ib^3 - 1444b^2 - 90ib + 261
partie réelle : b^4 - 1444b^2 + 261
partie imaginaire : 1000ib^3 - 90ib

est ce que c'est cela ?

[Sylviel]

Oui, ça m'a l'air bon. Tu peux attaquer le reste de l'exercice...

[patatedouce]

Merci beaucoup ! :)

[patatedouce]

Mais c'est impossible de déduire que f(z) = 0 donne deux imaginaires purs non ? il faut faire partie réelle = 0 et partie imaginaire = 0 non ? si c'est le cas on ne peut pas trouver deux imaginaires purs . je dois me tromper dans la façon de faire je pense

[Sylviel]

Non tu as fait le bon raisonnement : il faut que Im(f(ib))=0 et Re(f(ib))=0. Or avec de la chance (l'exo est ainsi conçut) tu vas avoir 2 b qui annule simulatnément la partie réelle et la partie imaginaire...

[patatedouce]

En fait la réponse c'était partie réelle = b^4 - 38b^2 + 261 et partie imaginaire = 10ib^3 - 90ib

quand je fais partie imaginaire = 0 je trouve 3 et - 3 par contre pour la partie réelle je suis bloquée :
b^4 - 38b^2 + 261 = 0
on peut faire b^2 - 38b^2 + 261 = 0 non ? mais si c'est le cas il faut retrouver 3 et -3 mais je n'y arrive pas

[patatedouce]

Je suis toujours bloquée sur la partie réelle :( il faut aussi trouver 3 et -3 non ? mais je n'y arrive pas . avec la méthode que j'ai dite au post d'avant je trouve delta = 400 . c'est pas normal :cry:

[patatedouce]

:( j'ai encore re essayé mais sa n'a rien donné pour la partie réelle x_x

[JackeOLanterne]

En fait la réponse c'était partie réelle = b^4 - 38b^2 + 261 et partie imaginaire = 10ib^3 - 90ib

Le système à résoudre est identifié : . A factoriser (en changeant de variable).

Un guide des équations est présent pour les équations polynomiales dont les trinômes du second degré.

[patatedouce]

b^4 - 38b^2 + 261 = 0

on pose x = b^2

<=> x^2 - 38x + 261 = 0

Delta = 400

x1 = 9 et x2 = 29

Donc b² = 9 ou 29

b = 3
b = -3
et le dernier on élimine parce que racine de 29 n'est pas entier c'est sa ?

et avec la partie imaginaire on trouve aussi 3 et -3 donc la réponse c'est : les imaginaires purs qui admettent l'équation f(z) = 0 sont 3i et -3i

c'est exact ?

[Dinozzo13]

Le système à résoudre est identifié : . A factoriser (en changeant de variable).

Un guide des équations est présent pour les équations polynomiales dont les trinômes du second degré.

Hey ! Merci d'avoir citer mon lien :++:
J'avais complètement oublié que je ne l'avais pas finit (je vais donc m'y remettre cet été je pense)

[sad13]

PAs mal ton guide, mais finis le avant l'été lol

[patatedouce]

b^4 - 38b^2 + 261 = 0

on pose x = b^2

x^2 - 38x + 261 = 0

Delta = 400

x1 = 9 et x2 = 29

Donc b² = 9 ou 29

b = 3
b = -3
et le dernier on élimine parce que racine de 29 n'est pas entier c'est sa ?

et avec la partie imaginaire on trouve aussi 3 et -3 donc la réponse c'est : les imaginaires purs qui admettent l'équation f(z) = 0 sont 3i et -3i

c'est exact ?

j'aimerais savoir pour la racine de 29 :3

[Dinozzo13]

PAs mal ton guide, mais finis le avant l'été lol

J'aimerais bien mais je n'ai pas trop le temps en ce moment