Complexes et géométrie

[Twister]

Bonjour à tous,

J'aurai besoin d'aide pour résoudre un problème.
Je dois faire un DM et je souhaite réussir et comprendre ce que je fais.

Je vous donne l’énoncé et j'explique ma démarche par la suite.

Enoncé:
Dans le plan complexe, on donne le carré de centre O, de côtés de longueur 4, parallèles aux axes.
Tout point M de ce carré est l'image d'un nombre complexe z.
Lorsque M parcourt le carré tout entier, quelle figure dessinent les points images de z²? et celle des points images de 1/z?

Après avoir potassé mon cours, je pense que le point image de z² est le module de z.
Etant donné que j'ai un carré de centre O et de longueur 4, je pense que mon angle Téta est de 45°
donc mon angle Téta =45° et mon Ro=2 puisque j'ai un carré?
J'ai donc mon premier point?
Est ce que j'ai 4z différents et donc 4 1/z différents à trouver?

Pourriez vous me dire si je suis dans la bonne logique?
Avez un cours support à me donner pour que je comprenne mieux le but de cet exercice?

Merci d'avance de votre aide.

[pascal16]

Après avoir potassé mon cours, je pense que le point image de z² est le module de z.
->z² a une norme (longueur) égale au carré de celle de z
->z² a un argument égal au double cellui de z

démo : z sous forme polaire...

->1/z a une norme (longueur) égale 1/|z|
->1/z a un argument égal -arg(z)

démo : z sous forme polaire et z*1/z = 1

place aussi les points du milieu des cotés

[mathelot]

bonjour,
qu'est ce que tu appelles le carré ?
le pourtour avec ou sans son intérieur ?

[pascal16]

Sauf erreur de ma part, ça doit donner ça pour z² :
parcouru 2 fois


le 1/z donne un petit treffle

[chan79]

salut
on a des arcs de paraboles pour z²

[Twister]

Bonjour,
Merci pour vos réponses à mon problème.
Je vais poser la démarche que j'ai effectué avant de lire vos commentaires.

Soit A,B,C,D les points images de z
Donc A (a1,b1) B (a2,b2) C (a3,b3) D( a4,b4)
Le carré étant de centre O et de côtés de longueur 4, on en déduit que les coordonnées des points seront pour x et y soit 2 et -2.
Donc A (2,2) B( 2,-2) C (-2,-2) D (-2,2)
Ro=Racine(a²+b²)
Ro=Racine(4+4)
Ro=2Racine2=Racine8
Za=2+2i
Zb=2-2i
Zc=2-2i
Zd=-2+2i
z=Ro*(cosTéta+isinTéta)
CosTéta=a/Ro
SinTéta=b/Ro
cosTéta A=2/(2Racine2)=1/(Racine2)
sinTéta A=2/(Racine2)=1/(Racine2)
Téta A=PI/4
Za=(2Racine2 ; PI/4)
Meme demarche pour Zb, Zc et Zd
Résultats:
Zb=(2Racine2 ; -PI/4)
Zc=(2Racine2 ; -3PI/4)
Zd=(2Racine2 ; 3PI/4)

Za²=(2+2i)²=(2+2i)(2+2i)=4+4i+4i-4
=8i

Zb²=(2-2i)²=(2-2i)(2-2i)=4-4i-4i-4
=-8i

Zc²=(-2-2i)²=4-4+8i
=8i

Zd²=(-2+2i)²=4-4-8i
=-8i
On voit que Za²=Zc² et que Zb²=Zd²
Nous avons donc 2 solutions à Z² qui sont opposés et purement imaginaire.
Je trouve donc une droite.

Pourriez vous me dire si ma démarche est bonne?
Pourquoi me dites vous de placer les milieux de mes côtés du carré?

[chan79]

Je trouve donc une droite.

Pourriez vous me dire si ma démarche est bonne?

salut
tu as obtenu seulement les images de quelques points. On n'obtient pas une droite.
Un point M variant sur [AB] a une affixe de la forme Z=2+ki avec k réel variant de -2 à 2 .
Z²=(4-k²)+4ki
donc avec X et Y les coordonnées du point d'affixe Z²
X=4-k²
Y=4k
donc X=4-(Y²/16)
on a donc une partie de parabole car k varie entre -2 et 2
Regarde tout ça et fais pareil pour les autres côtés du carré.