Complexes et exponentielle

[MagicFalco]

bonjour tout le monde
je bloque sur un exercice de mon devoir maison dont voici l'enonce
on pose u = e i2pi/7
a] calculer u7
b] les nombres S et T sont definis par ;
S = u + u2 + u4
T = u3 + u5 + u6

Montrer que S et T sont conjugues et que la partie imaginaire de S est positive

c] Calculer S+T, ST puis en deduire les valeurs exactes de S et T

pour la question a j'ai trouve ei7pi/7

mais pour le reste je ne vois pas comment commencer si quelqu'un voulait bien me mettre sur la voie
merci d'avance

[Akwakwak]

Pour a. Je suppose que u7 signifie u^7 (u puissance 7) auquel cas tu t'es trompé : u^7=exp(i2Pi)=1
Le groupe qu'on te fait étudié est le groupe des racines 7ème de l'unité,
ce sont des nombres complexes a tels que a^7=1. Dans ce groupe on peut montrer qu'il y a exactement 7 éléments, qui sont ici 1,u,u2,...,u6.

[oGGo]

bonjour tout le monde
je bloque sur un exercice de mon devoir maison dont voici l'enonce
on pose u = e i2pi/7
a] calculer u7
b] les nombres S et T sont definis par ;
S = u + u2 + u4
T = u3 + u5 + u6

Montrer que S et T sont conjugues et que la partie imaginaire de S est positive

c] Calculer S+T, ST puis en deduire les valeurs exactes de S et T

pour la question a j'ai trouve ei7pi/7

mais pour le reste je ne vois pas comment commencer si quelqu'un voulait bien me mettre sur la voie
merci d'avance

MagicFalco pr la question a) tu as du faire une erreur et de plus il faut penser a simplifier : on doit obtenir e^2ipi qui est égal a 1 (e^ipi=-1)
pr la question b)
il faut d'abord écrire S et T sous forme de somme d'exponentielles et ensuite remarquer les conjugués (en utilisant par ex e^-2ipi/7=e^12ipi/7 => cela se montre simplement en developpant puis en utilisant les formules de trigo mais avec l'expérience on utilise ca directement)
tu fais ca pr toutes les expo afin d'obtenir des expo simplifiees pr S et T(par ex pr S on obtient S=e^2ipi/7+e^4ipi/7+e^-6ipi/7)
Ensuite pr montrer que la partie imaginaire de S est >=0, il suffit de l'ecrire (sous forme de cosinus) et d'essaye de les visualiser sur le cercle trigonométrique pr voir qu'ils sont positifs...
la derniere question utilise la som et le produit de 2exp
pr la somme il faudra suremt utiliser les formules d'euler
pr le produit =>somme des exposants(avec les conjugués cela se simplifie tres facilement)
ensuite tu resout le systeme
S+T=X
ST=Y
voila si tu as besoin de detail supplementaires :we:

[yos]

u,u²,u^3,...sont de module 1.

Pour un cplx z de module 1, on a .

D'où par exemple u²u^5=1 donc u^5 et u² sont conjugués l'un de l'autre.