Complexe

[Bertrand Hamant]

Bonjour, mon exercice consiste à répondre à un QCM


A tout nombre comlexe différent de 2, on associe le nombre complexe z' défini par : z' = z -4i / z + 2

L'ensemble des points M d'affixe z tels que z' est un réel est :

a) un cercle
b)une droite privée d'un point
c) une droite
d) un cercle privé d'un point

pour que z appartienne à z, il faut que z = z barre

soit donc z -4i / z + 2 = z barre + 4i / z barre + 2

avec le produit en croix on obtien ainsi 4i( z + z barre + 4 ) + 2 ( z barre -z)

il faut que la partie imaginaire soit nul pour que l'expression soit un réel

ainsi z = -(4+z barre)

l'ensemble de points est un droite privée d'un point est ce correcte merci

[becirj]

Bonjour
Ton calcul est exact mais la conclusion n'est pas bonne.
Tu arrives à mais n'est pas un réel donc tu n'as pas un complexe écrit sous forme algébrique.
Il faut que tu utilises la forme algébrique de z pour pouvoir poursuivre.
( Cependant on obtient effectivement une droite privée d'un point)

[Bertrand Hamant]

oui on sait que z + z barre = 2a

et que z barre - z = - 2i


par conséquent pour que soit un réel il faut que 2a+4 = 0 soit a = - 2

donc c une droite privée d'un point est ce correcte ?


aurais je pu le démontrer avec les l'argument de z' = 0 comment aurais je pu merci de confirmer

[Bertrand Hamant]

est ce correcte ?

[Bertrand Hamant]

donc c'est bien une droite privé d'un point z différent de -2

[yos]

Soit z complexe différent de -2 et soit A(4i) et B(-2)

Il existe un réel k tel que z -4i / z + 2 =k
<=> Il existe un réel k tel que z -4i =k( z + 2)
<=> Il existe un réel k tel que vec(AM)=k vec(BM)
<=> vec(AM) et vec(BM) sont colinéaires
<=> M appartient à (AB)

L'ensemble cherché est la droite (AB) privée de B.

[becirj]

Je reprends ta méthode, il y a une erreur :
ce qui donne :
On obtient la droite d'équation y=2x+4 privée du point de coordonnées (-2,0) car on doit avoir

(Il y a d'autres méthodes possibles dont celle de Yos)

[Bertrand Hamant]

comment j'aurai pu le faire avec les arguments pour montrer que l'arg z' = 0

afin qu'il soit réel merci


merci encore

[Bertrand Hamant]

il faut que je démontre que arg ( z - 4i ) / ( z + 2 ) = 0 pour que z ' soit un réel n'est ce pas ?


soit donc z = 4i et z = -2

par conséquent module de 4i vaut |4i| = |16| = et |-2| = |4|


soit |16/4| = |4| donc z' = 2 et arg ( 4 ) = 0 [2pi]

par conséquent l'ensemble e correspond une droite privé du point - 2

est ce juste ou non ?

[becirj]

Tu peux utiliser les arguments mais ce que tu fais est faux.
IL faut considérer les points A d'affixe (-2) et B d'affixe 4i.

Pour que ce nombre soit réel il faut que l'argument soit égal à ce qui équivaut à à dire que les vecteurs sont colinéaires. L'ensembles des points M est donc la droite (AB) privée du point A.

[Bertrand Hamant]

d'accord merci mais peux t-on démontrer que ce module est nul ?

[becirj]

Je ne comprends pas bien la question, il me semble que tu fais des confusions entre module et argument.
Si M est un point d'affixe z (), le module de z est représenté par la distance OM.
Si
(et non 16)
Avec 2 points A et B est représenté par la distance AB
Le module ne pouvait pas être utilisé pour ton exercice.

Un argument est une mesure d'angle. dans le repère orthonormé , défini modulo
L'égalité découle de cette définition (elle est très souvent utile dans les exercices.
Un réel est représenté par un point de l'axe des abscisses donc a pour argument
Ce sont ces 2 propriétés qui sont utilisées dans la démonstration.