Complexe

[Cher93]

Bonsoir, pouvez-vous m’aider à résoudre cet exercice et merci d’avance !

Soit
f(z)=z^3 -3(1+i)z^2 +(3+10i)z +3(1-3i)
Apres factorisation on a :
f(z)=(z-1-i)(z^2 -(2+2i)z+(3+6i))
1.RESOUDRE L’equation f(z)=0
2.Montrer que les points images dans le plan complexe , des solutions sont alignés.

[LB2]

Bonsoir,

pour la 1. sais tu comment résoudre une équation du second degré à coefficients complexes?

[LB2]

Tu peux par exemple utiliser le discriminant

[Cher93]

Coefficients complexes??
J’ai essayé de calculer delta sauf que je trouve qu’elle est sous la forme x+iy!

[LB2]

Exactement, tu trouves normalement Delta = -12 -16 i .
Les formules que tu connais pour trouver les racines s'appliquent, il faut simplement trouver les deux nombres complexes "racines carrées" de Delta, c'est à dire les z tels que z^2=-12-16i

Si ce n'est pas dans ton cours, tu dois refaire la méthode :

En posant z=a+ib, tu trouves des équations sur a et b

Tu devrais trouver (a=2 et b=-4) ou (a=-2 et b=4)

[Cher93]

Si ce n'est pas dans ton cours, tu dois refaire la méthode : )

Quelle methode ? Apres avoir retrouvé le discriminant je fais quoi ??

[LB2]

Tu résous l'équation z^2=Delta, soit ici z^2= -12 -16 i

En posant z=a+ib, on trouve deux équations sur a et b : lesquelles?

[Cher93]

On alors
(a+ib)^2=-12-16i
D’où a^2+2aib-b^2=-12-16i
a^2-b^2=-12
Et 2ab=—16
Il suffit à resoudre ce systeme ?
(Une petite question z^2= un nombre negatif est-ce normal??)

[pascal16]

oui
(3i)² = -9 par exemple

[Cher93]

Ah oui d’accord!
Alors apres avoir trouvé deux valeurs
z=2-4i
Et z=-2+4i
Je devrais alors chercher les solutions de chaque discriminant?

[pascal16]

un seul suffit, ça donne les mêmes résultats

[LB2]

Après tu utilises les formules classiques des solutions de l'équation de degré 2, en remplaçant + racine de Delta et - racine de Delta par 2-4i et -2+4i

[Cher93]

D’accord pour la deuxieme question ?

[LB2]

place tes solutions dans le plan complexe et regarde si elles sont alignées déjà

[mathelot]

remarque:
l'équation d'inconnue z=x+iy , de paramètre a+bi



conduit, non pas à deux, mais à trois égalités:



la seconde égalité permet de savoir si x et y sont de même signe.

[pascal16]

la troisième équation est une astuce de calcul pour aller plus vite

[Cher93]

remarque:
l'équation d'inconnue z=x+iy , de paramètre a+bi



conduit, non pas à deux, mais à trois égalités:



la seconde égalité permet de savoir si x et y sont de même signe.

Comment obtient-on la troisieme equation?
Et comment cela aiderait à savoir que x et y sont de meme signe!

[LB2]

C'est juste passer au module : la troisième équation n'est pas indépendante des deux premières, c'est juste une astuce pour aller plus vite dans le calcul comme dit pascal, et pour ne pas avoir (dans le cas général) à résoudre une équation bicarrée.

Ici, tu as résolu cette partie, il faut donc exprimer clairement les trois solutions complexes z1,z2,z3 de l'équation f(z)=0 et vérifier, en les plaçant dans le plan complexe, que les points d'affixes z1,z2,z3 sont alignés.

[mathelot]

remarque:
l'équation d'inconnue z=x+iy , de paramètre a+bi



conduit, non pas à deux, mais à trois égalités:



la seconde égalité permet de savoir si x et y sont de même signe.

Comment obtient-on la troisieme equation?
Et comment cela aiderait à savoir que x et y sont de meme signe!

des égalités (1) et (3) on en tire:





a priori, ça ferait quatre solutions pour z, seulement l'égalité
2xy=b
indique :si b>0 alors x et y sont de même signe,ça ôte deux racines possibles.
même chose si b<0, x et y sont de signe opposés.

Pour obtenir la troisième égalité, on écrit des égalités de modules: