Complexe

[youkef-sne]

Bonjour j'ai un exo mais je bloque et je ne sais pas comment m'en sortir,
voila cr que j'ai fais pour l'instant:

Soit a un réel fixé. Pour z dans C, on pose: Pa(z)=4z^3+2*az^2 + aV(2) z + V(2) (V(2)=Racine carré de 2, a€R).
On s'interesse a l'equation du 3ème degré:
1)Enoncer le theoreme des valeurs intermediaires et l'utiliser pour montrer qu'il existe toujours au moins une solution réelle négative.
2)Soit z€C une solution de l'equation. Justifiet que z est diffferent de 0 et que 0,5z est aussi solution
3) Montrer que si z est solution, alors le conjugué de z l'est aussi.
Pour la suite de l'exercice, on sippose que a est tel qu'il existe 3 solutions a notre equation dont une seule est reellebet deux sont complexe non réelles.
4) Montrer que les solutions sont toutes de module V(2)/2.
5) Donner la valeur d la solution reelle.

Voila ce que j'ai fais:
1) le théorème des valeurs intermédiaires dit que si la fonction f est strictement monotone sur [a,b] et si le réel m est compris entre f(a) et f(b), alors l'équation f(x)=m admet une unique solution sur [a,b].
Ici on pose f(z)=4z^3 + 2az^2 aV(2)z V(2).
Sur ]-inf,0], f est continue et strictement croissante. Donc, sur ]-inf, 0], il existe un reel m tel que f(m)=0.

2)On sait que z#0 car une équation de degré n admet n racines complexes au réel, donc de ce fait, z ne peut pas etre nul.
Si P(z)=0, et que P(0,5z)=0, alors P(0,5z)=P(z)
Donc n'ai calculer P(0,5z) en posant z=a+ib et je trouve
P(0,5z)=3a§3 + 5i a^2b - 0.5i b^3 + V(2)[0,5a^2 + 0,5aib+1)
et P(z)=6a^3 + 16i a^2b - 14ab^2 - 4i b^3 + V(2)(a^2 +abi+1)
et on remarque qhe P(z) est different de P(0,5z).
Je sais pas comment prouver que P(0,5z)=P(z).

3) j'ai fais comme precedemment et en calculant P(a-ib)
je trouve: 6a^3 - 16i a^2b - 14 ab^2 + 4i b^3 + V(2)(a^2 -a +1).
Et je ne sais pas non plus comment prouver que P(a-ib)=P(a+ib).

[zygomatique]

salut

tout est dit ici :: http://www.ilemaths.net/sujet-theoreme-des-valeurs-664283.html

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