Combinaison linéaire

[pluie2]

Bonjour j'aimerais avoir une correction pour cet exercice :
On considère dans R^3 les vecteurs u=(1,1,-2) , v=(1,-2,1) et w=(-2,1,1). Soit u1=(-2,-2,4) et u2=(1,1,1). Parmi ces vecteurs lesquels sont des combinaisons linéaires de (u,v) ? de (v,w)? Trouver toutes les écritures de 0_R^3 comme combinaison linéaire de (u,v,w).

J'ai fait :

Pour u1 :
a+b=-
a-2b=-
-2a+b=4 ssi a=-2 et b=0

pour u_2 :
a+b=1
a-2b=1
-2a+b=1 pas de solution

Donc u_1 est une combinaisons linéaire de (u,v) mais pas u2

même raisonnement pour (u,w)

Pour la dernière question, j'ai résolu le système :
a+b-2c=0
a-2b+c=0
-2a+b+c=0

et je trouve a-b=0 et b-c=0 donc l'ensemble des solutions de la forme S={b,b,b}

je ne suis pas sure de mon raisonnement

merci

[siger]

bonsoir,

c'est normal de trouver un tel vecteur
en effet tu as un systeme de trois equations a trois inconnues qui n'a trois solutions distinctes que si les equations sont independantes, ce qui n'est pas le cas ici par construction du systeme .....
tu peux verifier que l'on a
equa.1 + equa. 3 = - equa. 2
dans ces conditions on a que deux equations independantes et un tel systeme de deux equations avec trois variables ne peut permettre que d'en calculer deux on fonction de la troisieme

c'est quelque chose d'identique pour u1 qui n' a de solutions a et b que parceque les equations ne sont pas independantes.( 3 equations independantes et 2 inconnues donne en general un systeme sans solution)...., ce qui n'est pas le cas pour u2

[pluie2]

d'accord mais est ce que ma rédaction convient ?

merci

[paquito]

Tu peux seulement rajouter que les 3 vecteurs sont coplanaires où que l'un est combinaison linéaire des 2 autres; par exemple pour b=1 tu as u=-v-w; enfin ces trois vecteurs ne peuvent servir à définir un repère de l'espace.