Chercher une racine d'un polynôme de degré 3

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Waax22951
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Chercher une racine d'un polynôme de degré 3

par Waax22951 » 24 Oct 2013, 14:43

Bonjour,
J'ai acheté un livre il y a quelques jours pour avoir des exercices d'approfondissement en maths, et je suis tombé sur un exercice qui demandait de vérifier qu'un nombre était racine d'une fonction polynôme de degré 3 appelée P(x) , puis de trouver une fonction Q(x) telle que , avec la fameuse racine. On pouvait alors trouver une forme factorisée de P(x) à partir d'un polynôme de degré 2 comme on l'a appris ^^
Je me suis donc dit qu'on pourrait généraliser ce problème:

Soit une fonction F(x) polynôme de degré 3 telle que:

et une racine de ce polynôme.
On peut donc noter:

où f(x) est une fonction polynôme de degré 2 telle que


On a alors :

Et donc

D'où :




Voilà !
Mon problème est que je ne peux pas trouver de racines d'un polynôme de degré 3 par une formule, et que si je trouve une formule, cette "démonstration" ne sert à rien. Donc à votre avis, comment pourrait-on trouver une racine sans formule, juste par exemple à travers un système entre les différentes données qu'on possède ?
Merci d'avance !

La bonne journée ! :zen:



Dlzlogic
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par Dlzlogic » 24 Oct 2013, 14:54

Bonjour,
C'est une question amusante.
En fait il faudrait plus détailler et préciser.
Si vous avez une équation polynomiale de degré 3 on peut, par changement de variables, calculer les racines.
C'est un formule assez compliquée dont personne ne se souvient sans formulaire, mais qui est parfaitement connue depuis très longtemps.
Si votre recherche est autre-chose, il faudrait préciser.

Waax22951
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par Waax22951 » 24 Oct 2013, 15:13

En réalité mon but est de pouvoir résoudre une équation polynomiale de degré 3 sans formules :we:
Je dirais que pour trouver au moins une racine, il faudrait résoudre "partiellement" l'équation F(x)=0 ^^
Je vais y réfléchir ^^
Désolé de ne pas beaucoup détailler, en réalité, c'est parce que je suis vraiment mauvais avec les balises TEX et que donc je ne met que ce qui est indispensable...
Pour l'instant j'ai trouvé :



(Avec 0 comme valeur interdite, mais de toute façon doit être différent de 0 puisque )
Mais je ne vois pas comment continuer... Où ai-je fait mon erreur ?
Suis-je parti de la mauvaise façon ? :triste:

La bonne journée ! :zen:

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leon1789
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par leon1789 » 24 Oct 2013, 15:36

Waax22951 a écrit:Soit une fonction F(x) polynôme de degré 3 telle que:

et une racine de ce polynôme.
On peut donc noter:

où f(x) est une fonction polynôme de degré 2 telle que


On a alors :

Et donc

d'où



:id:
Oui, c'est correct, et on peut continuer pour essayer de trouver :


La dernière ligne de ce système est une équation en uniquement (super ! :id: ), mais ce n'est autre que .... . :cry:

Conclusion : tout ceci prouve la banalité =>
mais ne donne pas les moyens de connaitre .

Si, avec aussi peu d'hypothèses, une méthode aussi simple permettait d'arriver à un résultat (ie connaitre ), ça se saurait depuis des siècles.


Mais, dans certaines situations où on connait des informations supplémentaires sur F, cette méthode peut tout de même donner des résultats, en effet.

Waax22951
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par Waax22951 » 24 Oct 2013, 16:32

Je ne suis pas d'accord avec toi sur un point:
Certes, ma méthode et mon raisonnement sont simples, et surtout insuffisants, mais un raisonnement simple permet parfois des démonstrations qui, en apparence, semblent plus dures. Par exemple les résolutions d'équations polynomiales de degré 2. La démonstration tiens en 15 lignes tout au plus, et ne demande qu'une réflexion de fin de seconde, car il ne s'agit que de factoriser le trinôme par un facteur commun. Cependant, il est logique qu'un polynôme de degré 3 soit beaucoup plus difficile à factoriser d'où cette forme plus facile que j'ai pu trouver dans certains exercices. En réalité, comme tu le disais, il s'agit de trouver des informations supplémentaires, qu'on nous donnera dans l'exercice, mais nous pourrions les ajouter au problème lui-même, sous la forme d'un autre polynôme de degré 3 avec un facteur commun dans la forme factorisée. Après, c'est peut-être une remarque bête.

La bonne journée ! :zen:

Dlzlogic
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par Dlzlogic » 24 Oct 2013, 16:44

Je pense que votre réaction vient du fait que vous raisonnez "exercice".
Si c'est un exercice proposé par un professeur, le professeur sait que l'élève peut le réussir. C'est le cas par exemple d'une mise en facteur, plus ou moins évidente, d'un polynôme de degré 1.
Si cette mise en évidence pouvait être faite par une formule ou une méthode simple, on le saurait.
Donc dans le cas général, une équation de degré 3, on sait la résoudre, mais la formule est compliquée.

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leon1789
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par leon1789 » 24 Oct 2013, 16:49

Waax22951 a écrit:Je ne suis pas d'accord avec toi sur un point:
Certes, ma méthode et mon raisonnement sont simples, et surtout insuffisants, mais un raisonnement simple permet parfois des démonstrations qui, en apparence, semblent plus dures. Par exemple les résolutions d'équations polynomiales de degré 2. La démonstration tiens en 15 lignes tout au plus, et ne demande qu'une réflexion de fin de seconde, car il ne s'agit que de factoriser le trinôme par un facteur commun.

Je suis bien d'accord. D'ailleurs, la résolution des équations de degré 2 date du XVIIIe siècle... avant JC !!! (cf les Babyloniens)
C'est ce que je disais, quand la situation est simple, on connait la réponse depuis longtemps.
Pour les équations de degré 3 et 4, il a fallu attendre un peu plus (disons le XVIe siècle après JC), parce que la situation est nettement plus compliquée. Et je ne parle pas des équations de degré >= 5 ...

Waax22951 a écrit: Cependant, il est logique qu'un polynôme de degré 3 soit beaucoup plus difficile à factoriser d'où cette forme plus facile que j'ai pu trouver dans certains exercices. En réalité, comme tu le disais, il s'agit de trouver des informations supplémentaires, qu'on nous donnera dans l'exercice, mais nous pourrions les ajouter au problème lui-même, sous la forme d'un autre polynôme de degré 3 avec un facteur commun dans la forme factorisée. Après, c'est peut-être une remarque bête.

Non, c'est pas bête du tout : si tu connais une seconde fonction polynomiale G(x), de degré 3, qui s'annule aussi en , alors là, c'est gagné ! Je te laisse chercher une méthode pour déterminer à partir de . :lol3: (Evidemment, on supposera que G n'est pas proportionnel à F.)

Waax22951
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par Waax22951 » 24 Oct 2013, 19:55

Est-il possible de trouver une valeur de uniquement en fonction de F(x) ou elle sera obligatoirement en fonction de F(x) et de G(x) ..? :/

Dlzlogic
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par Dlzlogic » 24 Oct 2013, 20:07

Oui, on est sûr qu'il existe au moins une solution et on sait la calculer.

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leon1789
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par leon1789 » 24 Oct 2013, 20:10

Waax22951 a écrit:Est-il possible de trouver une valeur de uniquement en fonction de F(x) ou elle sera obligatoirement en fonction de F(x) et de G(x) ..? :/

Tu peux trouver une méthode qui permet de calculer en utilisant F et G (les deux polynômes).

Waax22951
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par Waax22951 » 24 Oct 2013, 20:11

D'accord :lol3:
J'y suis presque, mais je vais devoir arrêter, donc je m'y remettrai au plus tôt ce soir ^^

Waax22951
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par Waax22951 » 03 Nov 2013, 17:21

En le faisant, je trouve une formule qui ne m'aide pas vraiment, surtout que je n'arrive pas à supprimer alpha en dénominateur dans l'une des parties...
Je pense qu'on pourrait trouver une manière générale pour trouver au moins une racine du polynôme... Je ne me suis pas renseigné là dessus, mais je sais que graphiquement, un polynôme de degré 3 a au moins une racine... On pourrait se servir d'observations graphiques pour obtenir une forme générale de la courbe et en déduire la racine.
Je m'explique, par exemple, pour une parabole, le sommet a pour coordonnées et son "écartement" est défini par où 'E' est l'écart à une hauteur nommée 'h' (et 'h' se calcule par ), ce qui permet de trouver, par déduction, les différentes racines.
La difficulté est surtout qu'il y a plus de facteurs à voir...
Ou alors il suffirait de trouver une démarche général à partir d'exemples...
Mais je verrai ça plus tard je pense ^^
Je pars sur de mauvaises pistes ?
D'autres idées ? :we:

La bonne journée ! :zen:

 

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