Centre du cercle inscrit, orthocentre, barycentres

[Half-Life]

abc est un triangle, on note :
BC = a , CA = b, AB = c.
l'objectif de ce problème est de trouver des réels alpha, beta, gamma, affectés aux points A, B et C tels que le centre I du cercle inscrit, ou l'orthocentre H de ABC, soit barycentre des sommets.

A. centre du cercle inscrit, point de concours des bissectrices.

A' est le pied de la bissectrice de l'angle BAC. A' est donc équidistant des côtés de l'angle. On note d cette distance et h la longueur issue de A.

1) a) Exprimer les aires des triangles AA'B et AA'C de 2 façons différentes.
b) déduisez en que A'B / A'C = c / d.
2) Prouvez que A' est le barycentre de (B,b) et (C,c).
3) B' et C' sont les pieds des bissectrices des angles ABC et ACB. Exprimez B' comme barycentre de C et A d'une part et C' comme barycentre de A et B d'autre part.
4) Démontrez que le point I est le barycentre de (A,a), (B,b) et (C,c).

B. Orthocentre, point de concours des hauteurs.

Pour la démonstration, on se place uniquement dans le cas où les angles de ABC sont tous aigus.

1) a) Prouvez que KB / KC = tan angle C / tan angle B.
b) justifiez que K, pied de la hauteur issue de A, est le barycentre de (B, tan angle B) et (C, tan angle C).
2) Donnez ds résultats analogues pour les pieds L et M des hauteurs issues de B et C.
3) Prouvez que par une méthode analogue à celle de la partie A que l'orthocentre est le barycentre de (A, tan angle A), (B, tan angle B) et (C, tan angle C).

[Half-Life]

aidez moi vite s'il vous plaît !
je ne comprends vraiment rien !