DM maths 1ère S : Centre du cercle inscrit. Orthocentre. Bar

[solene-h-x]

Je suis donc en première S (et depuis cette année je me noie en maths :hum: ) et j'avais un DM à faire pendant les vacances auquel je n'ai strictement rien compris. J'ai fait la question 1. a) et b) mais le reste j'ai abandonné tellement c'est difficile. J'ai demandé de l'aide à mon père qui lui non plus n'a pas compris. J'ai cherché sur d'autres forum mais ça ne m'a pas plus éclairée. Alors je viens vous demander un peu d'aide. Oui c'est vrai, c'est assez long et aussi assez décourageant mais voilà, "I need help" :') ! Merci d'avance pour votre attention.

ABC est un triangle. On note : BC = a, CA = b et AB = c.

L'objectif de ce problème est de trouver des réels x, P, y affectés aux points A, B et C tels que le centre I du cercle inscrit, ou l'orthocentre H de ABC, soit barycentre des sommets.

partie A. Centre du cercle inscrit, point de concours des bissectrices

A' est le pied de la bissectrice de BAC. A' est donc équidistant des côtés de l'angle (propriété caractéristique des points de la bissectrice). On note d cette distance, et h la longueur de la hauteur issue de A.

1. a) Exprimez les aires des triangles AA'B et AA'C de deux façons différentes.

Pour cette question j'ai trouvé : A_AA'B=\frac{(A'B*KA)}{2} et A_AA'B=\frac{(c*d)}{2}
A_AA'C=\frac{(b*d)}{2} et A_AA'C=\frac{(A'C*KA)}{2}

b) Déduisez-en que \frac{A'B}{A'C}=\frac{c}{b}

Pour cela, j'ai utilisé le rapport entre les aires des triangles >
\frac{(A'B*KA)}{2}/\frac{(A'C*KA)}{2}=\frac{A'B}{A'C}
\frac{(c*d)}{2}/\frac{(b*d)}{2}=\frac{c}{b}

Donc \frac{A'B}{A'C}=\frac{c}{b}

2. Prouvez que A' est le barycentre de (B, b) , (C, c) .

J'ai pensé à dire que : B et C sont deux points distincts. La droite (BC) est donc l'ensemble des barycentres de B et C. Or le point A' est situé sur la droite et entre B et C. Nous pouvons en déduire qu'il est alors barycentre de B et C. MAIS, j'ai lu sur un forum que ça ne prouvait pas du tout qu'il était barycentre. Donc après, j'ai pensé utilisé un rapport avec la question 1. b) mais je ne sais pas lequel...

3. B' et C' sont les pieds des bissectrices de ABC et de ACB. Exprimez B' comme barycentre de C et A d'une part, et C' comme barycentre de A et B d'autre part.

4. Démontrez que le point I est le barycentre de (A, a) , (B, b) et (C, c) .

partie B. Orthocentre, point de concours des hauteurs
Pour la démonstration, on se place uniquement dans le cas où les angles de ABC sont tous aigus.

Dans cette partie, je n'ai vraiment rien rien rien compris :mur: . Comment utiliser les barycentres avec les tangentes ? Quel rapport disons ?

1. a) Prouvez que \frac{KB}{KC}=tan \hat{C}
tan B
b) Justifiez que K, pied de la hauteur issue de A, est le barycentre de (B, tan \hat{B}) , (C, tan \hat{C}) .

2. Donnez des résultats analogues pour les pieds L et M des hauteurs issues de B et C.

3. Prouvez par une méthode analogue à celle de la partie A que l'orthocentre est le barycentre de (A, tan \hat{A}), (B, tan \hat{B}) et (C, tan \hat{C}) .
Note : Ce résultat reste valable dans le cas de tout triangle, non rectangle.

[Arnaud-29-31]

Hello,

Bon je me dévoue pour venir t'aider ^^ bien que ce soit un peu difficile à lire vu que tu as zappé les balises TEX

On a bien l'aire de AA'B qui vaut en utilisant la formule aire = base*hauteur/2 et l'aire de AA'C qui vaut .

En introduisant la hauteur issue de A dont on note la longueur h, on a aussi l'aire de AA'B qui vaut \frac{A'B.h}{2} et l'aire de AA'C qui vaut \frac{A'C.h}{2}
Ce qui permet de dire que et donc .

Cette expression te donne par produit en croix b.A'B = c.A'C
Or comme B,A' et C sont alignés, ceci se traduit soit par soit par ...
Tu devrais maintenant pouvoir conclure quant à la question 2 ...

[solene-h-x]

Je suis désolée pour les balises Tex, je pensais pourtant les avoir utilisées...
Mais vous dîtes que : b=c ou b=-c et je ne comprend pas comme c'est possible qu'un vecteur positif devienne tout à coup négatif :hein:
Enfin selon votre raisonnement, j'ai donc aboutis à cela :

b+c=

[solene-h-x]

Je reposte une seconde fois avec les balises TEX... Désolée.


ABC est un triangle. On note : BC = a, CA = b et AB = c.

L'objectif de ce problème est de trouver des réels x, P, y affectés aux points A, B et C tels que le centre I du cercle inscrit, ou l'orthocentre H de ABC, soit barycentre des sommets.

partie A. Centre du cercle inscrit, point de concours des bissectrices

A' est le pied de la bissectrice de BAC. A' est donc équidistant des côtés de l'angle (propriété caractéristique des points de la bissectrice). On note d cette distance, et h la longueur de la hauteur issue de A.

1. a) Exprimez les aires des triangles AA'B et AA'C de deux façons différentes.

Pour cette question j'ai trouvé : A_AA'B= et A_AA'B=
A_AA'C= et A_AA'C=b) Déduisez-en que =

Pour cela, j'ai utilisé le rapport entre les aires des triangles >
/=
/=

Donc =
2. Prouvez que A' est le barycentre de (B, b) , (C, c) .

J'ai pensé à dire que : B et C sont deux points distincts. La droite (BC) est donc l'ensemble des barycentres de B et C. Or le point A' est situé sur la droite et entre B et C. Nous pouvons en déduire qu'il est alors barycentre de B et C. MAIS, j'ai lu sur un forum que ça ne prouvait pas du tout qu'il était barycentre. Donc après, j'ai pensé utilisé un rapport avec la question 1. b) mais je ne sais pas lequel...

3. B' et C' sont les pieds des bissectrices de ABC et de ACB. Exprimez B' comme barycentre de C et A d'une part, et C' comme barycentre de A et B d'autre part.

4. Démontrez que le point I est le barycentre de (A, a) , (B, b) et (C, c) .

partie B. Orthocentre, point de concours des hauteurs
Pour la démonstration, on se place uniquement dans le cas où les angles de ABC sont tous aigus.

Dans cette partie, je n'ai vraiment rien rien rien compris . Comment utiliser les barycentres avec les tangentes ? Quel rapport disons ?

1. a) Prouvez que =
b) Justifiez que K, pied de la hauteur issue de A, est le barycentre de (B, tan ) , (C, tan ) .

2. Donnez des résultats analogues pour les pieds L et M des hauteurs issues de B et C.

3. Prouvez par une méthode analogue à celle de la partie A que l'orthocentre est le barycentre de (A, tan ), (B, tan ) et (C, tan ) .
Note : Ce résultat reste valable dans le cas de tout triangle, non rectangle.

[Arnaud-29-31]

Tu es bien d'accord que l'expression b.A'B = c.A'C donne une égalité sur les longueurs.

Si tu veux en déduire une relation sur les vecteurs, il faut réfléchir sur les signes, (puisque qu'une longueur étant la norme d'un vecteur on perd la notion de sens du vecteur).

[solene-h-x]

Oui je suis d'accord, mais n'étions nous pas partis sur des vecteurs ? Et vous me parlez maintenant de longueurs. Je ne comprend pas.

[Arnaud-29-31]

La question 1 te donne une relation sur les longueurs.
Pour répondre à la question 2 il faut une relation sur les vecteurs.

Contrairement à la relation sur les vecteurs, la relation sur les longueurs n'a pas la notion de sens (qui se traduit par un signe + ou -).
C'est pourquoi b.A'B = c.A'C peut se traduire par ou bien par ... il faut voir quelle relation correspond au cas étudié.

[solene-h-x]

Ok si je suis le schéma de la figure, b=-c

Cependant, j'ai une petite question, les coef b et c ont-ils un rapport avec les longueurs [AB] et [AC] ? Car ce sont les lettres qui leur sont attribuées respectivement.

[Arnaud-29-31]

Oui bien sur, ce sont les b et c du début b = AC et c = AB

[solene-h-x]

Et quel est le rapport entre ces deux droites b et c et les vecteurs et ?

(vous devez vous dire que je ne comprend rien à rien :triste: je suis désolée d'être aussi boulet...)

[Arnaud-29-31]

Je ne comprends pas trop la question, tu voudrais quel genre de rapport entre b,c et les vecteurs , ?

[solene-h-x]

Et bien étant donné que b et c sont les coef des vecteurs et il y a bien un rapport entre ces droites et les vecteurs non ? Sinon pourquoi seraient-ils utilisés ?

[Arnaud-29-31]

Bein on a l'expression qu'on vient de trouver, c'est à dire et qui permet de répondre à la question 2.

[solene-h-x]

C'est tout ? Bon, en fait ce n'était pas si compliqué après tout...
Pour la question 3. j'ai trouvé cela, même si je ne pense pas qu'il faille juste l'exprimer comme cela :
B' étant le pied de la bissectrice de l'angle il se trouve alors sur le côté opposé à cet angle qui est [AC]. Il est donc barycentre de C et A : y=-x > y+x=
C' étant le pied de la bissectrice de l'angle il se trouve alors sur le côté opposé à cet angle qui est [AB]. Il est donc barycentre de A et B : x=-P > x+P=

[Arnaud-29-31]

Pour répondre à la question 3) il suffit de reprendre les questions 1) et 2), c'est exactement la même étude sauf que l'on se place non plus dans les triangle AA'B et AA'C mais dans ABB' et CBB' dans un premier temps puis BCC' et ACC' dans un second temps.

[solene-h-x]

J'ai essayé de calculer l'aire de ces quatre triangles mais sans hauteurs, disons que c'est un petit peu difficile. Ne faut-il pas s'aider d'autres triangles présents dans la figure ?

[Luffyx]

Bonjour , je suis bloqué au même niveau que Solene , et je ne vois aucun rapport :/

[Arnaud-29-31]

Il faut faire exactement les même étapes que dans la question 1 et 2 c'est exactement la même chose.

[Luffyx]

Il faut donc calculer l'aire des deux triangles ? Mais je ne vois pas quelles sont les hauteurs ...

[Arnaud-29-31]

Mais il n'y a rien à calculer du tout, on fait la même chose qu'en 1 et 2.