Rayon centre du cercle inscrit

[Hannaut]

Salut, le triangle ABC est isocèle en A
r le rayon du cercle inscrit
R le rayon du cercle circonscrit


Si on note O le centre du cercle inscrit, pourquoi AO = rV2 ??

[ampholyte]

Soit I le centre de BC (par construction), alors IO = r
Soit H le projeté de O sur [AB] et K le projeté de O sur [AB] alors on a :
(AH)//(KO) et (AK)//(HO) et comme le triangle KAH est rectangle en A et que AH = AK par construction, alors AHOK est un carré.

En appliquant pythagore dans AHO rectangle en H:
KO = OH = OI = r car les côtés sont équidistants dans une bissectrice.
D'où
AH² + HO² = r² + r² = 2r² = AO²
AO = rV2

Reproduit la figure avec les projections.

[Hannaut]

Soit I le centre de BC (par construction), alors IO = r
Soit H le projeté de O sur [AB] et K le projeté de O sur [AB] alors on a :
(AH)//(KO) et (AK)//(HO) et comme le triangle KAH est rectangle en A et que AH = AK par construction, alors AHOK est un carré.

En appliquant pythagore dans AHO rectangle en H:
KO = OH = OI = r car les côtés sont équidistants dans une bissectrice.
D'où
AH² + HO² = r² + r² = 2r² = AO²
AO = rV2

Reproduit la figure avec les projections.

Merci beaucoup de ton aide :zen: