La base de l'intégration

[Trapnest]

Bonjour, j'ai une question à vous poser concernant les intégrales et les primitives :

J'aimerai connaitre la démonstration de l'utilisation des primitives en intégration, en partant simplement d'un calcul d'aires classique.

J'ai trouvé une démonstration détaillé de ce type sur le site Xmaths pour une fonction précise.


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En effet, ce cheminement part d'un simple calcul d'aire et démontre l’intérêt de l'utilisation de la primitive.

Ce que je cherche, c'est la généralisation de cette démonstration à toute fonction, car sur TOUS les sites de maths, le passage de cette expression :

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à celle ci :

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semble admis, mais je ne saisis pas en quoi il est logique.


Merci d'avance de votre aide ! :++:

[Archytas]

L'intégrale entre a et b est définie comme la borne commune qui est la borne inférieure des fonctions en escaliers supérieures à la fonction et la borne supérieure de celles qui sont au dessous. Une intégrale c'est en fait une somme continue c'est pour ça que l'intégrale est un grand "S" bref. Le tout est de montrer que cette borne est commune et qu'elle existe. Enfin, je suis pas sûr d'avoir bien compris ce que tu demandes !

[Trapnest]

Merci de ton explication, je me suis peut-être mal exprimé, en réalité je souhaite comprendre pourquoi on utilise une primitive pour les calculs d'aires.

Je ne saisis pas pourquoi on passe d'une somme d'aires dans la démonstration, à la partie en rouge sur l'image ?

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Pourquoi cette équivalence ?

Je sais que cette écriture correspond à F(b)-F(a), mais :

_ en quoi l'intégrale d'une fonction permet-elle systématiquement de calculer l'aire
_ où est le lien entre l'intégrale F(x) de a à b et une somme de rectangles de largeur h qui tend vers 0 ?

Merci.

[Archytas]

Ah oui, bin à moins d'être très fort et de tout voir, le lien entre les primitives et l'aire n'est pas évident cependant il est possible de le démontrer donc c'est vrai (que l'intégrale entre a et b est la différence d'une primitive calculée en b avec la même calculée en a), la démonstration est un poil chiante.

Si la démo t'interesse la voici : au théorème 3.2

[sylvainc2]

Il y a une démo du fait que la fonction qui donne l'aire sous la courbe d'un fonction f est une primitive de f:

http://archives.math.utk.edu/visual.calculus/4/ftc.9/

C'est dans la section "Check out the proof of the Fundamental Theorem: proof of part two"

Ce sont des animations qui utilisent flash ou java. C'est en anglais, mais je pense que c'est compréhensible quand même (la seule traduction qui peut être nécessaire est le "squeeze theorem" qui est le théorème des gendarmes ).

[Trapnest]

Merci beaucoup à vous deux.

Je vais checker ça, et je posterai mon retour dans les jours à venir ainsi qu'une démo claire en français pour ceux que ça intéresse !