Barycentres, orthocentre et centre du cercle inscrit

[martha]

Bonjour a tous,

Voici un exercice sur les barycentres que j'ai fait mais je ne suis pas très sûre des résultats que j'ai trouvé et de la rédaction, pourriez-vous m'aider s'il vous plaît?

Voici l'énonce:

ABC est un triangle. On note BC = a, CA = b et AB = c. L'objectif de ce problème est de trouver des réels (x, P, ,y affectés aux points A, B et C tels que le centre I du cercle inscrit, ou l'orthocentre H de ABC,soit barycentre des sommets. partie A. Centre du cercle inscrit, point de concours des bissectrices A' est le pied de la bissectrice de BAC. A' est donc équidistant des côtés de l'angle (propriété caractéristique des points de la bissectrice). On note d cette distance, et h la longueur de la hauteur issue de A.

1. a) Exprimez les aires des triangles AA'B et AA'C de deux façons différentes.
b) Déduisez-en que A'C b

2. Prouvez que A' est le barycentre de (B, b) , (C,c) .

3. B' et C' sont les pieds des bissectrices de ABC et de ACB. Exprimez B' comme barycentre de C et A d'une part, et C' comme barycentre de A et B d'autre part.

4. Démontrez que le point I est le barycentre de (A,a) , (B, b) et (C, c) .

partie B. Orthocentre, point de concours des hauteurs Pour la démonstration, on se place uniquement dans le cas où les angles de ABC sont tous aigus.

1. a) Prouvez que KC/KB = tan C/ tan B
b) Justifiez que K, pied de la hauteur issue de A, est le barycentre de (B, tan b) , (C, tan C) .

2. Donnez des résultats analogues pour les pieds L et M des hauteurs issues de B et C.

3. Prouvez par une méthode analogue à celle de la partie A que l'orthocentre est le barycentre de (A, tan A), (B, tan b) et (C, tan C) .

Désolé, je n'ai pas pu mettre de figure.

PARTIE A:

1.a) AA'B=(A'B*KA)/2 ou c*d/2
AA'C=(A'C*KA)/2 ou b*d/2

b) On en déduit que:
(A'B*KA')/2: (A' C*KA)/2=A'B/A'C

ET c*d/2:b*d/2=c/b
Les rapports des aires sont égaux donc A'B/A'C=c/b

2. On sait que A'B/A'C=c/b
Si on fait les produits en croix, on obtient:
b*A'B+c*A'C=o (--> Il faut surement mettre cette formule en vecteur, les normes ont ils quelques choses à avoir dedans?)
Donc A'=bar{(B;b);(C;c)}

3. On sait que B' est le pied de la bissectrice (de l'angle) ABC donc tanABC=BC/AB=a/c
si on utilise les produits en croix, on obtient:
c*BC+a*BA=0
Donc B'=bar{(C;c);(A;a)}

On sait que C' est le pied de la bissectrice de ACB donc tan ACB=BC/AC=a/b
Si on utilise les produits en croix, on obtient:
b*BC+a*AC=0
Donc C'=bar{(B;b);(A;a)}

4. Dans l'énoncé, on nous demande de trouver les réels x,P et y tel que le centre I du cercle inscrit de ABC soit barycentre des sommets A,B,C.
Donc I=bar{(A;x);(B;P);(C;y)}. Or on a (A;a), (B,b), (C;c).
Donc I=bar{(A;a);(B;b);(C;c)}
(-->Je ne pense pas que cette question soit juste..?)

PARTIE B:

1.a) On remarque que tan c=KA/KA et tan b=KA/KB
Donc tan c/tan b=KB/KC
b) On sait que KB/KC=tan c/tan b
Si on utilise les produits en croix, on obtient:
tan b*KB+tan c*KC=0
Donc k=bar{(B;tan b);(C;tan c)}

2. On sait que L est le pied de la hauteur issue de B
On remarque que tan a=LB/LA et tan c=LB/LC
Donc tan a/tan c=LC/LA
On utilise les produits en croix et on obtient:
tan a*LA+tan c*LC=0
Donc L=bar{(A;tan a);(C;tan c)}

On sait que M est le pied de la hauteur issue de C
On remarque que tan a=MC/MA et tan b=MC/MB
Donc tan a/tan b=MB/MA
On utilise les produits en croix et on obtient:
tan a*MA+tan b*MB=0
Donc M=bar{(A;tan a);(B;tan b)}

3. Dans l'énoncé, on nous demande de trouver les réels x, P et y tel que l'orthocentre H de ABC soit le barycentre des sommets A, B, C.
Donc H=bar{(A,x);(B,P);(C,y)}. Or on a (A;tan a), (B;tan b) et (C; tan c).
Donc H=bar{(A;tan a);(B;tan b);(C;tan c)}
(-->Pareille pour cette question, je ne suis pas sûre de la rédaction).

Voilà, pouvez vous m'aider s'il vous plaît?

Merci par avance!
Martha

[crassus]

POUR 4 tu demontres que le barycentre de Aa Bb Cc est le point I par exemple en montrant qu'il est necessairement sur (AA') et (BB') ...en utilisant ce que tu as demontre precedemment

Appelle G ce barycentre ... TU demontre facilement que aGA+(b+c)GA'=0 ( puisque (b+c)GA' = bGB+cGC ) donc G point de (AA') ...meme chose pour G point de (BB') ...

G est donc le point I ... compris ?

[martha]

Merci, oui je crois que j'ai compris, mais sinon, les autres questions sont justes? Et peut on passer directement des produits en croix aux vecteurs? par exemple:KB/KC=tan c/tanb
tan b*(vecteur)KC+tan c*(vecteur)KB?

Merci par avance.

[crassus]

par exemple KB/KC=tanC/tanB équivaut à tanB KB = tanC KC (en distance)ensuite tu dis que les vecteurs KB et KC sont colinéaires de sens contraires puisque K est sur [BC] ( ce qui est le cas si le triangle possède trois angles aigus c'est à dire tanA , tanB , tanC tous trois positifs )

ainsi tanB KB = -tanC KC (en vecteur) et donc tanB KB + tanC KC = 0 (en vecteurs)

[martha]

merci beaucoup!