Barycentres et longueurs

par **flo22** » 10 Fév 2008, 17:49

Bonjour à tous.

On sait, d'après la proprité fondamentale du barycentre, que :

aMA+bMB+cMC=(a+b+c)MG (en vecteurs), avec G=Bar{(A,a);(B,b);(C,c)} et (a+b+c) différend de 0.

Mais peut-on dire également que aMA²+bMB²+cMC²=(a+b+c)MG² (en vecteurs), et donc que aMA²+bMB²+cMC²=(a+b+c)MG² (en distance) ??

Merci.

par **Taupin** » 10 Fév 2008, 17:51

oula... non je crois pas :D

par **flo22** » 10 Fév 2008, 17:57

Oh mince ça m'aurait bien arrangé... ^^
Mais le minimum de la longueur aMA²+bMB²+cMC², quand M décrit le plan (ABC), est bien atteint pour M=Bar{(A,a);(B,b);(C,c)}, non ?

par **Sa Majesté** » 10 Fév 2008, 18:20

Pour trouver la réponse à ta question tu peux écrire

Développe le carré, fais pareil avec b MB² et c MC² et tu verras que ça s'arrange bien

par **flo22** » 10 Fév 2008, 18:52

Je trouve aMA²+bMB²+cMC²=(a+b+c)MG²+2MG(aGA+bGB+cGC)+aGA²+bGB²+cGC², en vecteurs dans la partie droite.
C'est bon ?
Et donc quand M=G, la distance est minimale. Exact ?

par **Sa Majesté** » 10 Fév 2008, 18:54

Où sont passés les aGA² etc ?
De plus tu peux simplifier 2MG.(aGA+bGB+cGC) vu la définition de G

par **flo22** » 10 Fév 2008, 19:00

Oui me suis rendu compte juste après pour les aGA² ^^
2MG.(aGA+bGB+cGC)= 0 donc :
aMA²+bMB²+cMC²=(a+b+c)MG²+aGA²+bGB²+cGC².
Et donc c'est minimal quand M=G ?
Ca y est, je peux le dire ?? ^^

par **Sa Majesté** » 10 Fév 2008, 19:06

Oui mais il faut expliquer ^^
Il faut dire que aGA²+bGB²+cGC² est indépendant de M
Donc aMA²+bMB²+cMC² est minimal lorsque (a+b+c)MG² est minimal, c'est-à-dire lorsque M=G :id:

par **flo22** » 10 Fév 2008, 19:14

Ouf, merci beaucoup !! :)
Et maintenant, si le point M décrit un autre plan que (ABC), le minimum correspond au projeté orthogonal de G sur ce plan. Mais je dois le démontrer ou bien c'est assez trivial pour le mettre sèchement ?

par **Sa Majesté** » 10 Fév 2008, 20:09

La relation aMA²+bMB²+cMC²=(a+b+c)MG²+aGA²+bGB²+cGC² est toujours vraie même si M est dans un autre plan que (ABC)
Donc aMA²+bMB²+cMC² est minimal lorsque (a+b+c)MG² est minimal
Pour quel point M la distance MG est-elle minimale ?

par **flo22** » 10 Fév 2008, 20:14

Pour M=G, mais G est forcément dans le plan (ABC). Quand M décrit un autre plan P, MG est minimale quand M est le projeté orthogonal de G sur P, non ? Ca suffit ?

par **Sa Majesté** » 10 Fév 2008, 20:18

Oui ça suffit
Tu peux toujours le démontrer en appelant H le projeté orthogonal de G sur P
Alors MG²=GH²+MH² (par Pythagore puisque GH est perpendiculaire à P)
MG² est donc minimale lorsque MH² est minimale c'est-à-dire lorsque M=H

par **flo22** » 11 Fév 2008, 13:58

OK, merci beaucoup pour ton aide !!! :D

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