Problème triangle et longueurs

[mikaado]

Bonjour, je suis en 1ère S et j'ai un problème dont je n'arrive pas à trouver toutes les solutions..

La somme des longueurs des cotés d'un triangle rectangle vaut 30 cm. La somme des carrés des longueurs du triangle vaut 338 cm². et il faut trouver les longueurs des 3 côtés.

Avec un système on a donc :

(a+b+c=30
(a²+b²+c²=338
(a²=b²+c² (pythagore) J'ai pris rectangle au point A. Soit de ce type :
http://site2wouf.fr/coll/l3/trigonometrie/trigo.png

Donc, j'en ai conclue que :
b²+c²=338-b²-c²
2b²+2c²=338
2(b²+c²)=338
b²+c²=338/2=169

Soit a²=169 d'où a=13

Mais après j'ai tout retourné dans tout les sens mais avec les cosinus et je n'arrive pas à obtenir b et c ...
Je n'ai surement pas fais gaffe à un truc, mais ce serait super si vous pouviez m'aider. Merci !

[Ericovitchi]

oui avec a²+b²+c²=338 et a²=b²+c² tu avais tout de suite 2a²=338 donc a²=169 et effectivement a=13

donc tu te retrouves avec
b+c=17
b²+c²=169

le plus simple est d'élever au carré (b+c)²=17² --> b²+c²+2bc=17²
donc bc=(17²-169)/2=60

donc tu es ramené à trouve 2 nombres dont tu connais le produit 60 et la somme 17 donc à résoudre X²-Sx+P=0

[Ben314]

Salut,
Jusque là, c'est "tout bon".
Ensuite, maintenant que tu sait que a=13, pour b et c il te reste les conditions b+c=30-13 et b²+c²=338-13².
Une méthode "bébète" mais qui marche est la "substitution" : tu dit que la première équation dit que c=??? (qui dépend de b) puis, dans la deuxième équation, tu remplace 'c' par ???.
Iil ne reste plus que des 'b' dans l'équation : c'est une équation "normale" (en fait c'est une équation du second degrés)

[mikaado]

Re! Merci voila ce que je trouve, par contre je comprend pas pourquoi on le transforme en equation du second degré...

b+c=17
b²+C²=169

(b+c)²=289
b²+2bc+c²=289
b²+c²+2bc=289
169+2bc=289
bc=(289-169)/2=60

d'où on obtient :

(bc=60
(b+c=17

x²-17x+60=0
delta = 289-4*60=289-240=49=7²

ainsi:

x1=(17-7)/2=10/2=5
x2=(17+7)/2=24/2=12

donc a=13 ; b=5 et c=12

[Ericovitchi]

Si X²-Sx+P=0 te parait artificiel dis toi que ça donnerait le même résultat si à partir de
bc=60
b+c=17
tu faisais c=60/b et que tu remplaçais dans la seconde.
Il faut bien une équation du second degré puisqu'il y a 2 valeurs à trouver (b et c).

Et au fait tes calculs sont justes a=13 ; b=5 et c=12 c'est bon