Barycentres 1ère S

[Anonyme]

on considere six poi,ts A.B.C.D.E.F distincys appartenant a un meme cercle.
on choisit troisde ces points qui forment un triangle d'orthocentre H.
les trois points restants forment un triangle de centre de gravite G.demontrer que tous les droites(HG) passent par un point fixe ce point etant independant du choix des trois points initiaux.

[yos]

Bonsoir.

J'ai répondu à ça il y a 3 semaines environ. C'est plus prêt d'un exo de concours que d'un exo de première S. C'est joli en tout cas.

Je change un peu les notations :G,H pour le premier triangle. G',H' pour le deuxième. O le centre du cercle.
Relations d'Euler dans les deux triangles :
OH=3OG et OH'=3OG' (en vecteurs).

On note E le milieu de [GG'], donc l'isobarycentre des 6 points du cercle.

Un peu de vecteurs ou de Thalès (voire d'homothéties ou de barycentre au choix), dans le triangle OHH' montre que le point I d'intersection de (GH') et (G'H) vérifie
OI=3/2OE.

O et E ne dépendent pas du choix des triangles donc I non plus.

Je suis prêt à détailler la partie centrale si nécessaire, mais si vous faites un dessin avec les points O,G,G',H'H',E,I sans le cercle vous verrez ce qui se passe.

[Anonyme]

jveux bien plus de détails svp !!

[yos]

Je te la joue barycentre :

La position de I sur [G'H] est donnée par Thalès avec les parallèles (GG') et (HH') : IG'/IH=GG'/HH'=OG/OH=1/3.
En d'autre termes I=bar{(H,1),(G',2)}.

E=bar{(G,3),(G',3)}=bar{(O,2),(H,1),(G',3)}=bar{(O,2),(I,4)}.
Les deux dernières égalités utilisent la propriété d'associativité du barycentre.

C'est fini.