Ex avec produit scalaire (1ere)

par **Juls121** » 13 Avr 2006, 14:27

Soit ABCD un carré de côté a.
Le point I est le milieu de [BC].
Le point J est défini par vecteurDJ = 1/3vecteurDC.
On pose teta = angle IAJ.

1/ Calculer AI et AJ en fonction de a. En déduire vecteurAI scalaire vecteurAJ en fonction de teta et de a.
2/ A l'aide d'un calcul vectoriel trouver une autre expression de vecteurAI scalaire vecteurAJ en fonction de a uniquement.
3/ Déduire de 1/ et 2/ la valeur exacte de cos teta, puis de teta.

Bon donc voilà je fais quelques exo pour m'entrainer aux produits scalaires et je bloque sur celui-là.
J'ai fait le 1/je trouve vecteurAI scalaire vecteurAJ = a² racine(1/2) x cos teta.
Mais pour le 2/ je ne vois pas vraiment comment faire.
Donc si quelqu'un pouvait m'éclairer ou me montrer comment faire ce serait sympa.

par **rene38** » 13 Avr 2006, 14:51

Bonjour

1)

Tu dois donc d'abord calculer AI et AJ en utilisant le théorème de Pythagore.

2) Utilise l'égalité de Chasles :

et tu développes

par **Juls121** » 13 Avr 2006, 15:23

En continuant j'obtiens :
AI.AJ = (AB + BI).(AD + DJ)
= (AB + 1/2 AB).(AD + 1/3 AD)
= (AB + 1/2 AB).(AB + 1/3AB)
= 3/2 AB . /3 AB
(Je n'ai pas mis les vecteurs au dessus car je ne sais pas comment faire)
en appliquant la propriété :
= 3/2 AB x 4/3 AB x cos de l'angle BAB
= 12/6 AB x cos 0
= 1/2 AB
=1/2 a.

c'est bien ça?

par **rene38** » 13 Avr 2006, 15:41

AI.AJ = (AB + BI).(AD + DJ)
= (AB + 1/2 AB).(AD + 1/3 AD)

Non ! Il s'agit de vecteurs, pas de longueurs.

Or

et

(vecteurs orthogonaux puisque droites perpendiculaires)
donc

par **Juls121** » 13 Avr 2006, 16:23

Ah d'accord, j'ai pigé. :happy2:

Et pour le 3/ je dois donc faire l'égalité des questions 1/ et 2/

d'où 5/6 a² = a² racine(1/2) x cos teta.
cos teta = (5/6 a²) / (a² x racine(1/2))

En utilisant le produit conjugué et en simplifiant j'arrive à :

cos teta = (5a² x racine(1/2)) / (3a²)
et ensuite pour teta je dis que c'est = à cos-1 de cos teta
j'ai fait une erreur quelque part? ce résultat me semble un peu compliqué pour un résultat final.

par **rene38** » 13 Avr 2006, 17:12

Qu'as-tu trouvé à la question 1 ?

AI = ...
AJ = ...
donc ...

par **Juls121** » 13 Avr 2006, 17:38

Dans le 1/ je trouve :
AI = a racine(3/2) et AJ = a racine(4/3), en utilisant pythagore.
donc vecteur AI scalaire vecteur AJ = a² racine(1/2) x cos teta.

Comme tu me l'as montré, dans le 2/ on a :
vecteur AI scalaire vecteur AJ = 5/6 a²

Pour trouver la valeur exacte de cos teta, je fais l'égalité des deux résultats précédents :

a² racine(1/2) x cos teta = 5/6 a²

Mais voilà en isolant cos teta et en simplifiant je tombe sur
cos teta = (5a² racine(1/2)) / (3a²).
Et je disais donc que ce résultat me semblait un peu complexe pour un résultat final. Est-ce normal? Ou alors c'est une erreur de calcul/raisonnement?

par **rene38** » 13 Avr 2006, 22:34

Soit ABCD un carré de côté a : AB=BC=CD=DA=a
Le point I est le milieu de [BC] : BI=IC=a/2
Le point J est défini par

: DJ=a/3

Dans le triangle ABI rectangle en B, d'après le théorème de Pythagore :
AI²=AB²+BI²=a²+(a/2)²=a²+a²/4=4a²/4+a²/4=5a²/4 donc

Dans le triangle ADJ rectangle en D, d'après le théorème de Pythagore :
AJ²=AD²+DJ²=a²+(a/3)²=a²+a²/9=9a²/9+a²/9=10a²/9 donc

et donc

par **Juls121** » 13 Avr 2006, 22:49

Rho oui j'suis bête j'avais fait 1/2 a² au lieu de (1/2 a)² et pareil pour la 2eme.
Ca m'apprendra à pas me relire...
Merci de ton aide et pour ta patience, tout va mieux maintenant!

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