Arithmétique

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Xavier
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Arithmétique

par Xavier » 28 Fév 2019, 12:26

Bonjour, j'aurais besoin d'aide pour résoudre cet exercice d'arithmétique ;

ㅤㅤㅤㅤㅤㅤㅤㅤㅤㅤㅤㅤㅤㅤㅤㅤㅤㅤㅤㅤㅤㅤㅤㅤㅤㅤㅤㅤㅤㅤㅤㅤㅤㅤㅤㅤㅤㅤㅤㅤㅤㅤㅤㅤㅤㅤ
ㅤㅤㅤㅤㅤㅤㅤSoient et deux nombres premiers positifs tel que l'équation du second degré admet deux solutions entiers distincts. Déterminer les couples .



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raito123
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Re: Arithmétique

par raito123 » 28 Fév 2019, 12:30

Bonjour,

Tu peux me rappeler comment tu résous une equation de second degrés en general stp? Ca sera ton point de départ.
Les multiples ne doivent pas être utilisés sans nécessité

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mathelot
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Re: Arithmétique

par mathelot » 28 Fév 2019, 12:35

bonjour,
si x est une solution entière de l'équation, cherche à démontrer des relations comme
n|x ou x|n

aymanemaysae
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Re: Arithmétique

par aymanemaysae » 28 Fév 2019, 13:33

Bonjour;

;

pour que cette équation ait deux solutions distinctes dans , il faut avoir

; donc il existe tel que ; donc : ;

donc : .

On remarque que et sont de même parité , donc paires .

De plus on a : .

La conclusion est maintenant tout à fait directe .

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mathelot
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Re: Arithmétique

par mathelot » 28 Fév 2019, 14:08

bonjour,
m et n sont premiers.

si et sont des solutions entières de


alors et divisent n,

alors et car n est premier
d'où

donc
n et n+1 sont des entiers premiers
donc n=2 et m=3

réciproquement, a deux racines entières distinctes.
Modifié en dernier par mathelot le 28 Fév 2019, 16:44, modifié 1 fois.

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chan79
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Re: Arithmétique

par chan79 » 28 Fév 2019, 14:21

salut
on peut remarquer que
n=mx-x²
n=x(m-x)
x divise n
comme n est premier, on a x=1 ou x=n

1°) cherchons les (m,n) de sorte que 1 soit une solution non unique
x²-mx+n=0
l'autre solution est x=n
m=n+1
seule possibilité
x²-3x+2=0 soit(m;n)=(2;3)

2°)cherchons les (m,n) telles que n soit une solution non unique
l'autre est 1
n²-mn+n=0
n=m+1
on retrouve (m,n)=(2;3)

 

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