Arithmétique

[Xavier]

Bonjour, j'aurais besoin d'aide pour résoudre cet exercice d'arithmétique ;

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ㅤㅤㅤㅤㅤㅤㅤSoient et deux nombres premiers positifs tel que l'équation du second degré admet deux solutions entiers distincts. Déterminer les couples .

[raito123]

Bonjour,

Tu peux me rappeler comment tu résous une equation de second degrés en general stp? Ca sera ton point de départ.

[mathelot]

bonjour,
si x est une solution entière de l'équation, cherche à démontrer des relations comme
n|x ou x|n

[aymanemaysae]

Bonjour;

;

pour que cette équation ait deux solutions distinctes dans , il faut avoir

; donc il existe tel que ; donc : ;

donc : .

On remarque que et sont de même parité , donc paires .

De plus on a : .

La conclusion est maintenant tout à fait directe .

[mathelot]

bonjour,
m et n sont premiers.

si et sont des solutions entières de


alors et divisent n,

alors et car n est premier
d'où

donc
n et n+1 sont des entiers premiers
donc n=2 et m=3

réciproquement, a deux racines entières distinctes.

[chan79]

salut
on peut remarquer que
n=mx-x²
n=x(m-x)
x divise n
comme n est premier, on a x=1 ou x=n

1°) cherchons les (m,n) de sorte que 1 soit une solution non unique
x²-mx+n=0
l'autre solution est x=n
m=n+1
seule possibilité
x²-3x+2=0 soit(m;n)=(2;3)

2°)cherchons les (m,n) telles que n soit une solution non unique
l'autre est 1
n²-mn+n=0
n=m+1
on retrouve (m,n)=(2;3)