Approximation

[plastik]

Salut
Pourriez vous m'aider a répondre à ces questions je suis totalement bloqué:
a et b sont 2 réels donnés. L'objectif de cet exercice est d'étudier la convergence ' c a dire la lim en +00) de la suite (un) définie sur N par un+1=aun+b


On se propose de construire une representation graphique approchée de la fonction f vérifiant la relation f'(x)=1+(f(x))² et f(0)=0 sur [-1.5;1.5]
1.En utilisant l'approximation affine f(a+Dx)~f(a)+Dx*f'(a), déterminer une valeur approchée de f(0.5) puis de f(1) en prenant Dx=0.5
2.Sur [0;1.5] Etablir que xn+1=xn+0.1 et yn+1=0.1yn²+yn+0.1

Pourriez vous m'expliquez s'il vous plait

merci d'avance

[Adoration_For_None]

Salut,

1) Ta première question ne devrait pas trop te poser de problème, c'est simplement du calcul itératif.
On te dis que f'(x) = 1+[f(x)]², et que f(0) = 0. Ainsi tu peux appliquer la méthode d'Euler : à savoir que f(a+h);)f(a)+hf'(a).

Ainsi, f(0.5) = f(0+0.5) ;) f(0)+0.5f'(0)
Donc : f(0.5) ;) 0 + 0.5(1+0²)
On obtient au final : f(0.5) ;) 0.5

On ré-exécute le même calcul pour f(1), en posant que : f(1) = f(0.5+0.5) ;) f(0.5)+0.5f'(0.5)
Donc f(1) ;) 0.5+0.5(1+0.5²)
On obtient au final : f(1) ;) 1.125.

Tu as vu c'est pas bien sorcier :) Je sais que c'est pas demandé, mais tu veux bien approximer par la méthode d'Euler f(1.5) voir si tu as bien compris ?

Pour la deuxième question, je vois pas trop où la question veut nous mener. Tu peux nous donner l'énoncé complet de ton exercice ?

[plastik]

I)a et b sont deux réels donnés. L'objectif de cet exercice est d'étudier la convergence (c'est à dire la limite en +;)) de la suite (Un) définie sur N par Un+1=aun+b.

1)Répondre à la question dans le cas particulier où a=1.
(On pourra remarquer que (Un) est une suite particulière)

2)Répondre à la question dans le cas où a;)1.(On pourra considérer la suite définie par vn=un-a ou a est solution de ax+b=x)

II) On se propose de construire sur l'intervalle [-1.5;1.5] une représentation graphique approchée de la fonction f solution de l'équation différentielle y'=1+y² avec comme condition initiale y(0)=0.

1) En utilisant l'approximation affine f(a+;)x);)f(a)+;)x×f'(a), déterminer une valeur approchée de f(0.5) puis de f(1) en prenant ;)x=0.5.

2) Sur [0;1.5], on choisit un pas ;)x=0.1. On construit par la méthode d'Euler une suite de points Mn(xn;yn).
Etablir que xn+1=xn+0.1 et yn+1=0.1yn²+yn+0.1

3) Sur EXEL, construire ces deux suites. On placera dans la colonne A les valeurs de n , dans la colonne B les valeurs de xn et dans la colonne C les valeurs de yn pour n allant de 0 à 15. On obtient ainsi une approximation de f sur [0;1.5].

4)Sur [-1.5;0], on choisit un pas ;)x=-0.1. On construit par la méthode d'Euler une suite de points qu'on nomme encore Mn(xn;yn).
Établir que xn+1=xn-0.1 et yn+1=-0.1yn²+yn-0.1

5) Dans les colonnes D et E, calculer les coordonnées des points Mn. Compléter la courbe obtenue dans la question 3 en se plaçant dans la zone graphique par un clic droit, puis sélectionner Données source/série/ajouter et enfin désigner les nouvelles valeurs de x puis celles de y.

6) Refaire la même chose sur [-1.5;1.5] avec un pas ;)x=0.01

7) Connaissez-vous cette fonction f?

[plastik]

Salut,

1) Ta première question ne devrait pas trop te poser de problème, c'est simplement du calcul itératif.
On te dis que f'(x) = 1+[f(x)]², et que f(0) = 0. Ainsi tu peux appliquer la méthode d'Euler : à savoir que f(a+h);)f(a)+hf'(a).

Ainsi, f(0.5) = f(0+0.5) f(0)+0.5f'(0)
Donc : f(0.5) 0 + 0.5(1+0²)
On obtient au final : f(0.5) 0.5

On ré-exécute le même calcul pour f(1), en posant que : f(1) = f(0.5+0.5) f(0.5)+0.5f'(0.5)
Donc f(1) 0.5+0.5(1+0.5²)
On obtient au final : f(1) 1.125.

Tu as vu c'est pas bien sorcier Je sais que c'est pas demandé, mais tu veux bien approximer par la méthode d'Euler f(1.5) voir si tu as bien compris ?

Pour la deuxième question, je vois pas trop où la question veut nous mener. Tu peux nous donner l'énoncé complet de ton exercice ?

Pour f(1.5)...=f(1.5+0.5)~f(1.5)+0.5(1+1.5)²
f(1.5)~1.5+0.5(1+1.5)²
f(1.5)= 4.625

[plastik]

Salut,

1) Ta première question ne devrait pas trop te poser de problème, c'est simplement du calcul itératif.
On te dis que f'(x) = 1+[f(x)]², et que f(0) = 0. Ainsi tu peux appliquer la méthode d'Euler : à savoir que f(a+h);)f(a)+hf'(a).

Ainsi, f(0.5) = f(0+0.5) f(0)+0.5f'(0)
Donc : f(0.5) 0 + 0.5(1+0²)
On obtient au final : f(0.5) 0.5

On ré-exécute le même calcul pour f(1), en posant que : f(1) = f(0.5+0.5) f(0.5)+0.5f'(0.5)
Donc f(1) 0.5+0.5(1+0.5²)
On obtient au final : f(1) 1.125.

Tu as vu c'est pas bien sorcier Je sais que c'est pas demandé, mais tu veux bien approximer par la méthode d'Euler f(1.5) voir si tu as bien compris ?

Pour la deuxième question, je vois pas trop où la question veut nous mener. Tu peux nous donner l'énoncé complet de ton exercice ?

Je suis sure de m'etre trompé pour f(1.5)
f(1.5): f(1+0.5)~f(1+0.5)*(1+1²)
f(1.5)~1.5*2
f(1.5)~3

[plastik]

1) Pour a=1; Un+1= Un+b
si b>0 lim Un= + et si b<0 lim Un= -

2) Pour a1 Vn = Un-a où a est solution de ax+b=x
don c'est une suite géométrique de raison a
Si -1si a>1 ou a1 ; les deux suites divergent

II)
1)f(0)=0 ;) f(0+0.5);)f(0)+0.5×f'(0)
;)f(0.5);)0+0.5×(1+f(0)²)
;)f(0.5);)0+0.5×1+0;)0.5

f(1);)f(0.5)+0.5f'(0.5)
;)0.5+0.5(1+f(0.5)²)
;)0.5+0.5+0.5×0.25
;)1.125

2)comme ;)x=0.5
xn+1=xn+0.1
f(xn+1)=f(xn+0.1);)f(xn+0.1(1+f(xn)²)
yn+1=yn+0.1+0.1×yn²=0.1yn²+yn+0.1

4)xn+1=xn-0.1
f(xn+1)=f(xn-0.1);)f(xn)-0.1(1+f(xn)²)
yn+1=yn-0.1-0.1yn²=-0.1yn²+yn-0.1


Pour les trucs sur excel je n'y suis pas du tout arrivé...donc
3.???
5.???
6.???
7.???

[plastik]

Adoration_for_none il est tard je suis crevé si vous m'avez corrigez (j'éspére :id: ) je verrai sa demain matin :we:

[Adoration_For_None]

I)
1) Tu as : ainsi quand a=1, .
est donc dans ce cas là une suite arithmétique de raison b.
Démonstration :
De ce fait, la limite de dépend donc de b.
Si b>0, alors :
Si b1, alors et
Si a<-1 alors et divergent.

II)
1) L'approximation on l'a faite toute à l'heure.
Puis oui, tu as une petite erreur pour f(1.5).
Tu as mis toute la parenthèse au carrée alors que c'est que f(1).
f(1.5) = f(1+0.5) f(1)+0.5f(1)²
Ainsi f(1.5) 1.125+0.5(1.125)² 1.758

2) On refait la même chose avec un pas de 0.1
Donc la suite des abscisses est définie par . Pour avoir l'abscisse suivante on prend l'abscisse précédente et on lui rajoute 0.1.
Par ailleurs on a y'=y²+1, on pose y'=f'(x) et y=f(x) donc d'après l'approximation affine : .
De ce fait :
On développe et on a : .
Donc : .

3) En A1 tu tapes "n".
En A2 tu tapes "1".
En A3 tu tapes "=A2+1".
Tu étires les cellules relativement loin (n=16).

En B1 tu tapes "xn".
En B2 tu tapes "0".
En B3 tu tapes "=B2+0.1", cela revient à ajouter 0.1 à l'abscisse précédente.
Et tu étires jusqu'à ce que xn = 1.5.

En C1 tu tapes "yn".
En C2 tu tapes "0".
En C3 tu tapes "=0.1*C2^2+C2+0.1", cela consiste à calculer l'ordonnée du point suivant.
Tu étires pour que les colonnes B et C ai la même longueur.

Remarque : Certains tableurs n'acceptent que la virgule comme séparateur décimal.

Tu obtiens ceci :



En sélectionnant la colonne des xn et yn, et en cliquant sur le symbole du diagramme tu obtiens :



4) On refait la même chose avec un pas de -0.1
Donc la suite des abscisses est définie par . Pour avoir l'abscisse suivante on prend l'abscisse précédente et on lui retranche 0.1.
Par ailleurs on a y'=y²+1, on pose y'=f'(x) et y=f(x) donc d'après l'approximation affine : .
De ce fait :
On développe et on a : .
Donc : .

5) En D1 tu tapes "xn".
En D2 tu tapes "0".
En D3 tu tapes "=D2-0.1", cela revient à retrancher 0.1 à l'abscisse précédente.
Et tu étires jusqu'à ce que xn = -1.5.

En E1 tu tapes "yn".
En E2 tu tapes "0".
En E3 tu tapes "=-0.1*D2^2+D2-0.1", cela consiste à calculer l'ordonnée du point suivant.
Tu étires pour que les colonnes D et E ai la même longueur.

Tu obtiens ceci :



Et pour ce qui est de la courbe :



6) Pour changer le pas, il suffit de remplacer dans les formules le 0.1 par 0.01 et d'étirer aussi loin qu'il faut toutes les colonnes pour avoir xn=1.5 au final.

7) A toi de me dire si tu connais cette fonction.

PS : J'ai mis du temps à répondre pour m'appliquer à te faire une bonne correction.
J'ai vu que tu avais cherché entre temps, c'est cool, ça donne envie de faire une correction précise.

[plastik]

RE
Je voulais simplement te dire un GROS MERCI franchement tu m'as aidé à un point t'imagines meme pas
ENCORE MERCIIIIIIIIIIIIIII!!!!!!!!!^^ :ptdr: :ptdr:

[Adoration_For_None]

Et bien c'est avec plaisir ! :)