Aide DM de maths exercice sur approximation affine

[caluzete]

Bonjour,
J'ai des doutes sur un exercice de mon DM de 1ère S que j'ai à faire pendant les vacances... Voici l'énoncé:
D'après la définition, lorsqu'une fonction f est dérivable en a:
quand h tend vers 0 = f´(a)

On peut également écrire cette définition sous la forme:
= f´(a)+
Où -> 0 quand h tend vers 0.

1) à partie de cette dernière égalité, écrire f(a+h).
2) reproduire le graphique suivant et reporter chacune des quantités composant f(a+h). [je n'arrive pas à poster la photo du graphique]
3) lorsque h est proche de 0, on peut négligée l'un des termes.
a) on a alors f(a+h)
b) dans quelle formule du cours retrouve-t-on le membre de droite? (On pourra poser x= a+h)
Cette écriture correspond à l'approximation affine de f au voisinage de à.
4) dans chacun des cas suivants:
a) écrire l'approximation de f au voisinage de a;
b) en déduire une valeur approchée des nombre demandes et comparer avec leur valeur exacte.
• f:x -> x^2, a=1. Calculer 1,01^2 puis 0,996^2.
•f:x-> racine carré de x, a=1. Calculer racine carré de 1,005 puis de 0,999.
•f:x-> 1/x, a=2. Calculer 1/2,002 puis 1/1,995.
5) en considérant la fonction f:x -> 1/x , démontrer que pour tout réel h proche de 0, 1/1+h est à peu près égal à 1-h.

Voici maintenant ce que j'ai fait:
1) = f´(a)+
Factorisation par h :
f(a+h)-f(a)=f´(a)h +h
Plus f(a):
f(a+h)=f´(a)h +h +f(a)

2) j'ai pas compris la question... Quelles sont les quantités composants f(a+h)?

3) f(a+h)=f(a) je ne suis pas sûre ...

4) a)
• 2. 1,0201 et 0,992016
• 1/2xracine de 1. 1,00250 et 0,99950.
• -1/4. 0,4995005 et 0,50125313
Pour la b je n'ai pas compris le but...

5) je n'ai pas encore fait.

[Krismu]

Pour la 1), ça semble correct.

Pour le 2) pas facile sans le graphique , peut-être il faut reporter "a", "h" et "a+h" (et f(a+h)) ?

3) La quantité à devenir "négligeable" est , sinon en écrivant f(a+h) = f(a), t'es pas très avancé(e) car tu dis juste que quand h tend vers 0, a + h tend vers a, ce qui ne sert pas à grand chose...

Donc en laissant de côté le , il te reste l'équation de la tangente à la courbe en a ....

4) Je pense que tu dois reprendre l'équation trouvée ci-dessus et faire les calculs avec cette équation et la vraie fonction (par exemple pour x², ce sera soit 1², 1.01² et 0.996² directement, soit f'(1)*(x-1) + f(1) etc...
Et les valeurs devraient être assez proches (c'est le concept de la tangente )

[zygomatique]

salut

f(a + h) = f(a) + hf'(a) + he(h)

il faut effectivement reporter sur le graphique les quantités a, a + h, f(a + h), f(a), f(a) + hf'(a) et he(h)

par exemple (a, f(a)) sont les coordonnées du point A de la courbe où tu traces la tangente ...


dommage de ne pas pouvoir insérer des images directement ...

[Krismu]

dommage de ne pas pouvoir insérer des images directement ...

On peut utiliser, par exemple le site http://imgur.com/
Clique sur "new post" et on glisse dépose notre image, il suffit de copier l'adresse de la nouvelle page ...

[caluzete]

http://imgur.com/a/kKmCq

Voici l'image du graphique.

Sur la 4, j'ai pas bien compris... pour la question a il faut trouver la dérivée de la fonction au point a non? et apres le 1^2, 1,01^2... je n'ai pas compris.

Pour reporter les points je prends un a, h et f quelconque?

[caluzete]

Voila, pour la 4 j'ai fais le calcul avec l'équation de la tangente avec a=1:

f'(1)(x-1)+f(1)= 2(x-1)+ 1= 2x-2+1= 2x-1

Mais après je ne vois pas ce qu'il faut faire... Est-ce qu'il faut remplacer x par 1,01 puis 0,996 et comparer le résultat avec l'équation avec celui de x^2 ?

Si c'est cela, ce serait :
2x1,01-1= 1,02 qui est presque égal à 1,01^2=1,0201
2x0,996-1=0,992 -> idem à sont carré

Est-ce cela?

[zygomatique]

il manque des choses sur le graphique ....


f(a + h) = f(a) + f'(a)h + he(h)

si h est proche de 0 alors

dans chaque cas il suffit de reconnaître a et h, calculer f'(a) puis l'approximation de f(a + h)

...

[caluzete]

Reconnaître ? c'est-à-dire? Celui sur le graphique?
je suis désolé, je ne comprends pas...

[zygomatique]

f(x) = x^2

a = 1

1,01 = a + h donc h = ... ?

0,996 = a + h donc h = ... ?

[caluzete]

Pour la question 4 il faut trouver h? J'avais compris qu'il fallait utiliser l'équation de la tangente puis remplacer x par 1,01 puis par 0,996 et comparer...
Comme cela:
2(x-1)+1= 2x-1

2x1,01-1 est environ égal à 1,01^2
2x0,996-1 est environ égal à 0,996^2

[Krismu]

Pour le 4, je pense que tu as bon, zygomatique faisait je pense simplement remarquer que le "h" dans ces questions est une valeur "petite".

[zygomatique]

certes mais je pense qu'il/elle n'a pas compris ....

[caluzete]

Ah ok... J'ai compris (elle) !
Maintenant pour la 4 b, j'ai déduis que la valeur approchée est donc le résultat du calcul avec l'équation qu'on compare (peut être en faisant la différence entre le résultat avec l'équation et celui en faisant le carré des nombres)...
Et pour la 5, j'ai pensé à faire :
1/1+h=1-h/1+h-h=1-h/1=1-h
C'est correct?

[Krismu]

Si tu appliques la même méthode qu'au dessus, c'est-à-dire de prendre en l'appliquant à puis le transformer en
Tu tombes directement sur le résultat. C'est peut-être ce que tu as fait mais tu n'expliques pas vraiment ton calcul

[caluzete]

Ah... Mais dans ce cas il faut prendre pour a=2 aussi comme dans la question précédente?
L'équation de la tangente serait donc:
-1/4(x-2)+1/2= -1/4x+1/2+1/2=-1/4x+1

Mais la je ne vois pas comment le transformer en f(à+h)

[Krismu]

Si tu prends a = 1, et
Que vaut ?

Et donc que vaut f(a+h) ?

[caluzete]

Avec mon calcul j'ai fait :


J'ai soustrait h en haut et en bas

[caluzete]

Donc

Quel est mon erreur?
C'est ça?

[caluzete]

Donc
Et après on sait que:
f(1)+f(h)=h
1+f(h)=h
F(h)=h-1

C'est ça?

[Krismu]

Attention avec f(a+h) qui est égal à 1/(a+h) et non pas (1/a) + h