Approximation affine

[gamzat38]

Bonjour, j'ai des difficultés a fairecet exo. S'il vous plait aider moi.
J'ai me débrouille pas mal en maths mais cet exo me pose probleme, voici le sujet:

PARTIE A : Tracés

1) Détermine l'approximation affine de la fonction sinus en 0
2) Trace sur l'intervalle I = [0 ; pi/2] les courbes C, D et P d'équations y= sinx ; y= x et y= x-(x²/2), on prendra comme unité graphique 10 cm .

PARTIE B : Positions respectives des courbes

1) Soit u(x)= x-sinx pour x I
a) Donne le tableau de variation de u
b) Calcule u(0) et déduis-en le signe de u(x) puis la position de C par rapport à D sur I
2) Soit v(x)= 1-x-cosx sur I
a) Détermine le sens de variation de v
b) Calcule v(0) et déduis-en le signe de v sur I
3) Soit w(x)= x-(x²/2)-sinx sur I
a) A l'aide de la question 2)b) détermine le sens de variation de w sur I
b) Déduis-en la position de C par rapport à P sur I

PARTIE C : Approximation

1) Déduis des questions précédentes que pour tout x de I :
0 <(ou égal) |sinx-x| <(ou egal) x²/2
2) Comment suffit-il de choisir x pour que sinx x à 0.01 près ?



J'ai trouvé:
L'approximation affine d'une fonction f en un point x est de la forme : f(x+h)=f(x)+hf'(x)
Donc l'approxximation de la fonction sin en 0 est sin(0+h)=sin(0)+hsin'(0)
puis je me bloque.
Aider moi pour la partie B et C.

Merci d'avance.

[bombastus]

Bonjour,

J'ai trouvé:
L'approximation affine d'une fonction f en un point x est de la forme : f(x+h)=f(x)+hf'(x)
Donc l'approxximation de la fonction sin en 0 est sin(0+h)=sin(0)+hsin'(0)
puis je me bloque.

Tu es sur la bonne voie : il ne te reste plus qu'à calculer sin(0) et sin'(0)!

Et pour le B et C, ou bloques-tu?

[Huppasacee]

Donc l'approxximation de la fonction sin en 0 est sin(0+h)=sin(0)+hsin'(0)

il n'y a plus qu'à remplacer !

[gamzat38]

On remplace quoi par quoi ( c'est ça que je en comprend pas ).
Et dans la partie B : comment trouver les variations (quel demarche), avec le sin j'ai vraiment du mal, (on utilise la trigo?? ou derivation??)

Merci de m'aider.

[bombastus]

Tu ne connais pas les valeurs de sin(0) et de sin'(0) (quelle est la dérivée du sin?)

Pour la B, c'est du classique : calcul de la dérivée, tableau de signes et de variations...

[gamzat38]

justement comment faire la derivé de sin et cos ?

[bombastus]

justement comment faire la derivé de sin et cos ?

Ca, c'est du cours :

(cos(x))' = -sin(x)
(sin(x))' = cos(x)

[gamzat38]

Donc u(x)= x-sinx
u'(x)=1-cosx
comment savoir si u est croissant ou décroissant?

Pareil pour v(x)= 1-x-cosx
v'(x)=0-1+sinx
croissant, decroissant?

De meme, w(x)= x-(x²/2)-sinx
w'(x)=0-(x/2)-cosx
Est-ce juste??

[bombastus]

Donc u(x)= x-sinx
u'(x)=1-cosx
comment savoir si u est croissant ou décroissant?

Pareil pour v(x)= 1-x-cosx
v'(x)=0-1+sinx
croissant, decroissant?

Il faut que tu retiennes la méthodologie :
calcul de la dérivée,
étude du signe da la dérivée,
variations de la fonction qui dépendent du signe de la dérivée.

De meme, w(x)= x-(x²/2)-sinx
w'(x)=0-(x/2)-cosx
Est-ce juste??

Tu as une petite erreur sur la dérivée de (x²/2)

[gamzat38]

je n'ai pas compris l'erreur.
c'est x/0 ??

[gamzat38]

merci beaucoup,
parcontre la partie C je n'y comprend rien ?
s'il vous plait, aidez moi, que vaut dire " 0 <(ou égal) |sinx-x| <(ou egal) x²/2"
et comment choisir x pour que sinx x à 0.01 près ?

[bombastus]

je n'ai pas compris l'erreur.
c'est x/0 ??

non, quel est la dérivée de x²? donc quelle est la dérivée de x²/2?

merci beaucoup,
parcontre la partie C je n'y comprend rien ?
s'il vous plait, aidez moi, que vaut dire " 0 <(ou égal) |sinx-x| <(ou egal) x²/2"
et comment choisir x pour que sinx x à 0.01 près ?

Cela veut dire que pour tout x de I on a la relation :
0 <(ou égal) |sinx-x| <(ou egal) x²/2

Tu pourras facilement trouver cette relation lorsque tu auras étudié les positions des courbes dans la partie B

comment choisir x pour que sinx x à 0.01 près

tu es sur de l'intitulé de la question?

[gamzat38]

pardon, comment choisir x pour que sinx (environ)=x à 0.01 près ???

[gamzat38]

bonsoir,
Enfaite, j'aime les maths, j'ai souvent juste mais la redaction me penalise.
j'ai besion d'aide sur la redaction de mon DM.
eventuellement expliquer les erreurs

PARTIE A : Tracés

1) Détermine l'approximation affine de la fonction sinus en 0
2) Trace sur l'intervalle I = [0 ; pi/2] les courbes C, D et P d'équations y= sinx ; y= x et y= x-(x²/2)

PARTIE B : Positions respectives des courbes

1) Soit u(x)= x-sinx pour x I
a) Donne le tableau de variation de u
b) Calcule u(0) et déduis-en le signe de u(x) puis la position de C par rapport à D sur I
2) Soit v(x)= 1-x-cosx sur I
a) Détermine le sens de variation de v
b) Calcule v(0) et déduis-en le signe de v sur I
3) Soit w(x)= x-(x²/2)-sinx sur I
a) A l'aide de la question 2)b) détermine le sens de variation de w sur I
b) Déduis-en la position de C par rapport à P sur I

PARTIE C : Approximation

1) Déduis des questions précédentes que pour tout x de I : 0 < |sinx-x| < x²/2
2) Comment suffit-il de choisir x pour que sinx x à 0.01 près ?


soutions:
A
1) L'approximation affine d'une fonction f en un point x est de la forme : f(x+h)=f(x)+hf'(x). Donc l'approxximation de la fonction sin en 0 est sin(0+h)=sin(0)+hsin'(0)
ce qui donne : sin(h)=0+hcos(0)
donc : sin(h)=h
2)Dessin.

B
1) u(x)= x-sinx , donc u'(x)=1-cosx (positif sur I donc croit sur I)
Or u(0)=0 donc u(x)>u(0) car x>0
Cela montre que C est en dussous de D
2) v(x)= 1-x-cosx , donc v'(x) = - 1 + sin(x) ( negatif, donc décroit sur I)
v(0)=0
3)on remarque w'(x)=v(x) ( w' negatif sur I, donc décroit sur I )
Donc C est en dessus de P.

C
1) |sinx-x| =x-sin(x)
Après je me bloque.
2)Là j'ai vraimentdu mal.
Comment choisir x pour que sinx environ =x à 0.01 près?


Aider moi, s'il vous plait.
MERCI.