Approximation

[ger-00-der]

Bonjour,

Je dois donner l'approximation de et de sin(x) par un binôme en 0, je sais donner une approximation par une fonction affine, mais par un binôme non.

Pouvez-vous m'aider????

Et merci.

[Sylviel]

binôme ? Tu ne veux pas plutôt dire polynôme ?

[ger-00-der]

binôme ? Tu ne veux pas plutôt dire polynôme ?

Oui, binôme.

[Ben314]

A mon avis, le terme "binôme" signifie ici "binôme du second degrés", c'est à dire polynôme de degrés 2 (et hop, je met tout le monde d'accord...) qui doit approximer le mieux possible la fonction lorsque x est proche de 0.
Pour (1+x)^4, rien de plus simple : si tu développe, tu obtient un polynôme de degrés 4. Pour obtenir une approximation avec un polynôme de degrés 2, il suffit de jetter à la poubelle les termes en x^3 et x^4. On obtient bien un polynôme de degrés deux, mais est ce que ce qu'on a jeté à la poubelle est bien "trés petit" ?
Oui, car, si x est proche de 0, par exemple alors , et : on a bien mis à la poubelle les termes les plus petits...

Pour l'approximation de sin(x), c'est un peu plus compliqué du fait que l'on ne peut pas vraiment écrire sin(x) comme un polynôme (dont on ne garderait que les termes de degré plus petit ou égal à 2).
Une idée peu consister à regarder comment on obtient l'approximation affine de sin(x) :
On cherche une fonction f(x)=ax+b telle que f(0)=sin(0) [les deux fonctions passent par le même point] ET telle que f'(0)=sin'(0) [les deux fonctions ont les mêmes tangentes]
Il peut alors venir à l'esprit une généralisation pour un polynôme de degrés 2 :
On cherche g(x)=ax²+bx+c telle que g(0)=sin(0) ; g'(0)=sin'(0) [i.e. mêmes tangentes] et aussi g"(0)=sin"(0) [même "variation de tangente"]

Mais je ne suis pas sûr que c'est ce qui est attendu...

[Finrod]

On peut aussi calculer la limite en zéro de



sinon Taylor, c'est bien et ça doit pouvoir se faire à la main à l'ordre 2.

Il faut juste prendre le R(x) qui correspond, n+1=3. et montrer qu'il tend vers 0.

[url]http://fr.wikipedia.org/wiki/Théorème_de_Taylor[/url]

[ger-00-der]

OK grand merci.