Application vide

[alexis6]

Bonjour,

Je ne comprends pas pourquoi avec pour une fonction f : E --> F, si E est vide alors il existe une application que l'on appelle " application vide " et si F est vide alors il n'y a pas d'application.

Pourquoi y en a t-il une dans un cas et pas dans l'autre?
Question stupide sûrement... Mais bon, c'est comme ça que l'on avance...

[Monsieur23]

Aloha,

Il faut revenir aux bases : une application, c'est une partie de ExF, telle qu'il y ait un unique couple de la forme (e, qqchose) pour tout e dans E.

Si E est vide, il existe bien une partie de ExF qui vérifie ça : l'ensemble vide (qui correspond à l'application vide)

Si E n'est pas vide, et que F est vide : tu prends un e dans E (tu peux, E est non vide). Tu ne peux pas mettre dans ton application un couple de la forme (e, qqchose), vu qu'il n'existe aucun "qqchose".
Donc il n'y a pas d'application de E dans Vide.

Par contre, si E et F sont vides, il y a une (et une seule) application de E dans F.

[alexis6]

Salut,

et merci pour cette réponse.

Juste une précision, si tu as encore un peu de temps...

"Si E est vide, il existe bien une partie de ExF qui vérifie ça : l'ensemble vide"
La je comprends pas trop... ExF, c'est tous les couples (e,f) tel que e appartienne à E et f à F. L'ensemble vide n'est pas un couple, non?

Pour le reste j'ai compris!

[mathelot]

si E est un ensemble possédant éléments,
les parties de E, ensemble P(E), sont au nombre de .
Ce très bô résultat, car très simple, nécessite que la partie vide soit élément de P(E)

En tant qu'ensemble , le produit cartésien ExF admet comme partie.

[alexis6]

En tant qu'ensemble , le produit cartésien ExF admet comme partie.

Ah d'accord! Je viens de comprendre le truc...
Je bloquais car je ne pouvais pas concevoir qu'un couple soit un ensemble. Bref... Cela m'a d'ailleurs amené à faire quelques recherches et à tomber sur cette définition d'un couple ( a,b ):

Le couple ( a,b ), c'est l'ensemble {{a},{a,b}}.

En fait, c'est juste le " codage ensembliste " qui vérifie la propriété fondamentale des couples.

[Ben314]

Salut,

Je bloquais car je ne pouvais pas concevoir qu'un couple soit un ensemble.

Pour comprendre que, si E est vide alors ExF est vide, il n'est absolument pas nécessaire de voir les couples comme des ensembles (a mon sens c'est même plutôt nocif).
Tu ne cherche pas à montrer que l'ensemble vide est un élément de ExF, c'est à dire que l'ensemble vide est un couple (ce qui est systématiquement faux), mais à montrer que l'ensemble ExF est vide, c'est à dire qu'il ne contient aucun élément.
C'est totalement différent vu que si l'ensemble vide était effectivement un élément de ExF, ben ça prouverais en particulier que ExF est non vide !!!
Pour te donner l'exemple le plus con qui me vient à l'esprit, c'est si E= alors E est vide, son cardinal est 0 et il ne contient aucun éléments. Donc, par exemple est faux (à évidement à ne pas confondre avec qui lui est vrai et qui est même vrai pour tout nsemble E, vide ou pas)
Par contre, toujours avec E=, on a P(E)={} qui est cette fois non vide vu que est un (et même le seul) élément de P(E). DOnc le cardinal de P(E) est 1 et c'est (heureusement) cohérent avec la formule générale que dit que, si le cardinal de E est n alors celui de P(E) est 2^n (ici n=0 et 2^n=1)

Sinon, concernant ton truc, c'est complètement con : les éléments de ExF, c'est les couples (x,y) avec x dans E et y dans F donc si E (ou F) est vide, tu ne peut former aucun couple et donc ExF est vide.

Si tu veut mon opinion, tout ça semble vouloir dire que tu n'as pas encore totalement "digéré" la différence essentielle entre les notions d'appartenance et d'inclusion .
Pour faire des tests (pourris s'il en est),
1) Peut tu me donner A et B tels qu'on ait a la fois et ?
2) Peut tu me donner A et B tels qu'on ait a la fois et ?
3) Peut tu me donner A et B tels qu'on ait a la fois et ?

[alexis6]

Salut,
Pour comprendre que, si E est vide alors ExF est vide, il n'est absolument pas nécessaire de voir les couples comme des ensembles (a mon sens c'est même plutôt nocif).
Tu ne cherche pas à montrer que l'ensemble vide est un élément de ExF, c'est à dire que l'ensemble vide est un couple (ce qui est systématiquement faux), mais à montrer que l'ensemble ExF est vide, c'est à dire qu'il ne contient aucun élément.
C'est totalement différent vu que si l'ensemble vide était effectivement un élément de ExF, ben ça prouverais en particulier que ExF est non vide !!!
Pour te donner l'exemple le plus con qui me vient à l'esprit, c'est si E= alors E est vide, son cardinal est 0 et il ne contient aucun éléments. Donc, par exemple est faux (à évidement à ne pas confondre avec qui lui est vrai et qui est même vrai pour tout nsemble E, vide ou pas)
Par contre, toujours avec E=, on a P(E)={} qui est cette fois non vide vu que est un (et même le seul) élément de P(E). DOnc le cardinal de P(E) est 1 et c'est (heureusement) cohérent avec la formule générale que dit que, si le cardinal de E est n alors celui de P(E) est 2^n (ici n=0 et 2^n=1)

Sinon, concernant ton truc, c'est complètement con : les éléments de ExF, c'est les couples (x,y) avec x dans E et y dans F donc si E (ou F) est vide, tu ne peut former aucun couple et donc ExF est vide.

Si tu veut mon opinion, tout ça semble vouloir dire que tu n'as pas encore totalement "digéré" la différence essentielle entre les notions d'appartenance et d'inclusion .
Pour faire des tests (pourris s'il en est),
1) Peut tu me donner A et B tels qu'on ait a la fois et ?
2) Peut tu me donner A et B tels qu'on ait a la fois et ?
3) Peut tu me donner A et B tels qu'on ait a la fois et ?

Salut,

1) Ca me semble pas possible parce que cela implique que A soit à la fois un objet mathématique et un ensemble.
2) A=B={x}
3) Même remarque que pour le 1)

Apparement, j'avais toujours pas compris... Merci pour cette deuxième explication.

[Ben314]

1) Ca me semble pas possible parce que cela implique que A soit à la fois un objet mathématique et un ensemble.
2) A=B={x}
3) Même remarque que pour le 1)
Apparement, j'avais toujours pas compris... Merci pour cette deuxième explication.

Correction :

1) c'est tout à fait possible, par exemple A= est à la fois un élément et une partie de P(A)={} : et
On peut aussi donner des exemples moins subtils :
A={ 3 , {2,3} } et B={ 1 , 3 , {1,2} , {2,3} , {1,{2,3}} , {{1}} }
On a bien vu que les deux éléments de A, à savoir 3 et {2,3} sont tout les deux des éléments de B (le 2em et le 4em de B dans l'ordre dans lesquels il sont présentés)
On a bien vu que A est le 5 em élément de B (dans l'ordre dans lesquels il sont présenté)

2) oui, A=B={x} marche et même (et c'est très important) " et " est équivalent à ""

3) Là, c'est super compliqué : dans le modèle standard des maths., à savoir celui de Zermelo-Fraenkel (ZF en abrégé) il y a un axiome (Axiome de fondation) qui dit effectivement que c'est impossible d'avoir ainsi que et ni toute autre chaine de la forme , , ... , ,