DM 1ereS

par **thibaut47500** » 10 Fév 2010, 15:29

Bonjour à tous,

voici l'énoncé du problème:

"On considère n nombres réels X1,X2,...,Xn et la fonction définie par:

f(x)=\bigsum_{1}^{n} (x-xi)^2

Démontrer que f admet un minimum que l'on déterminera."

Alors voila mon problème: je ne sais pas par ou commencer!

Merci d'avance, Thibaut.

par **Benjamin** » 10 Fév 2010, 15:57

Bonjour,

Que se passe-t-il quand la dérivée d'une fonction s'annule en changeant de signe ?

par **thibaut47500** » 10 Fév 2010, 16:12

Euh on obtient des extrema.
Mais que faut-il faire après je ne vois pas?

par **Benjamin** » 10 Fév 2010, 16:45

Oui,on obtient des extremas, ce n'est pas ce que tu cherches ?

Il me semble que tu cherches le minimum de f(x) ;) Donc tu calcules la dérivée et tu regardes dans elle s'annule en changeant de signe ;)
Ensuite, tu montres que c'est bien un minimum et non un maximum par étude du signe de f''(x) et le tour est joué ;)

par **thibaut47500** » 10 Fév 2010, 16:53

Comment étudier la dérive de sigma? C'est vraiment tres flou pourtant je connais les dérives.

par **Benjamin** » 10 Fév 2010, 17:09

Normalement, tu sais que la dérivée de f+g, c'est la dérivée de f plus la dérivée de g : (f+g)'=f'+g'

Tu peux alors montrer par récurrence que la dérivée d'une somme finie de fonctions, c'est la somme finie des dérivées.

Pour tout n de N, [sigma(i;1;n) (Fi)]'=sigma(i;1;n) (Fi')

par **thibaut47500** » 10 Fév 2010, 17:41

je ne comprend pas ta notation et donc ce que tu veux signifier. Je suis désolé.

par **Benjamin** » 10 Fév 2010, 18:14

Désolé, ce que j'écris sigma(i;1;n), c'est la somme pour i allant de 1 à n.
J'écris bien :

par **thibaut47500** » 10 Fév 2010, 18:29

ça je suis d'accord depuis tout à l'heure mais comment dérivé cela?

par **Benjamin** » 10 Fév 2010, 22:28

Que vaut la dérivée de (x-xi)² par rapport à la variable x ?
Que vaut alors la dérivée de la somme ?

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