Problème : La Tour de Hanoï (1ereS -Suites)

[tom12]

Le problème des tours de Hanoï est un jeu de réflexion imaginé par le mathématicien français Édouard Lucas, et consistant à déplacer des disques de diamètres différents d'une tour de « départ » à une tour d'« arrivée » en passant par une tour « intermédiaire » et ceci en un minimum de coups, tout en respectant les règles suivantes :

* on ne peut déplacer plus d'un disque à la fois,
* on ne peut placer un disque que sur un autre disque plus grand que lui ou sur un emplacement vide.


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Soit n un entier naturel supérieur ou égal à 1.
On appelle Un le nombre minimal de déplacements nécessaires pour transporter une tour de n étages d'une tige à l'autre.

1) Déterminer U1 U2 et U3
Vérifier que U4 = 15

2) En remarquant que pour pouvoir déplacer la plus grosse pièce, il est nécessaire d'avoir reconstitué une tour avec les autres pièces sur une des tiges expliquer pourquoi la suite (Un) vérifie la relation de recurrence :
U(n+1) = 2Un +1

3) en déduire le nbre minimal de déplacement nécessaires pour une tour de huit étages.

4) en observant les termes de la suite Un + 1 conjecturer l'expression de Un en fonction de n et démontrer cet conjecture.


la 1 j'ai trouvé : 1 palet : 1 coup; 2 palets : 3 coups; 3 palets : 7 coups
car Un = 2 (exposant)n -1

j'ai besoin d'aide pour les questions 2, 3 et 4 merci d'avance!

[Flodelarab]

intéressant.

2) Pour pouvoir déplacer la (n+1)ième pièce (la plus grosse) il faut avoir déplacé les n autres pièces. Il faudra alors replacer toutes les n autres pièces sur la (n+1)ième pièce ainsi déplacée.
Il faut Un coup pour déplacer n pièces. Donc U(n+1) = Un + 1 + Un
(Un pour libérer, 1 pour déplacer la base et Un pour recouvrir la base a nouveau)

U(n+1)=2Un + 1


ok?

[tom12]

merci pour la 3 j'utilise la formule précédente, mais la 4 me pose aussi probleme ...

[Flodelarab]

merci pour la 3 j'utilise la formule précédente, mais la 4 me pose aussi probleme ...

1
3
7
15
31
... ça ne te fais pas réagir ?

Et si j'écris:
2
4
8
16
32

qu'en penses tu ?

[tom12]

U(n+1) = 2 Un + 1

Un = 2 (exposant)n - 1

le "mot" conjecturer me gênait :hum:

[Flodelarab]

U(n+1) = 2 Un + 1

Un = 2 (exposant)n - 1

le "mot" conjecturer me gênait :hum:

Oui, ça veut juste dire "énoncé une chose qui parait juste sans le prouver"

Il y a de nombreuses conjectures mathématiques dont personne n'est jamais arrivé à prouver ni qu'elles étaient fausses ni qu'elles étaient forcément justes.

[Flodelarab]

Oublie pas de le démontrer par récurrence quand même.

[tom12]

merci c'est bon :we: