1ere S : produit scalaire

[Sacha..]

bonjour tout le monde. je bloque à la première question de mon exercice alors si quelqu'un peut m'aider a trouver un bonne piste merci d'avance

voici l'énoncé:
soit ABC un triangle, O le centre de son cercle circonscrit, G son centre de gravité, et H tel que Vecteur OH= Vecteur OA + Vecteur OB + Vecteur OC

1) calculer AHscalaireBC

[oscar]

Bonjour
AH hauteur relative à BC

vecteur AH scalaire Vecteur BC =0 ( ce sont des vecteurs orthogonaux)

[Sacha..]

oui mais coment le prouver ? je dois juste dire ca ? ou je dois le démontrer par des calculs ? moi j'étais partie sur :

Vecteur OH= Vecteur OA + Vecteur OB + Vecteur OC

vecteurAH scalaire vecteurBC = (vecteurAO+vecteurOH) scalaire ( vecteur BO + vecteur OC)
=(vecteur AO+Vecteur OA+ Vecteur OB + Vecteur OC) scalaire ( vecteur OB + vecteur OC)

= ( vecteur OB+ vecteur OC) scalaire ( vecteur BO+ vecteur OC)
= (vecteur OC - vecteur BO) scalaire ( vecteur OC + vecteur BO)
= vecteur OC² - vecteur BO²
=norme vecteur OC² - norme vecteur BO²
=OC² -BO²

=0 ( car O est le centre circonscrit au triangle ABC , OC=OB => oc²=OB² => OC² - OB²=0 )


Désolé si c'est pas très clair Mais est juste comme démonstration?

[L.A.]

Bonjour.

Oui c'est parfait. si ce n'est une faute de frappe à la troisième égalité (BO devenu OB)

(pour distinguer le vecteur AB de la longueur AB, tu peux écrire par exemple le vecteur en gras, c'est moins lourdingue...)

[Sacha..]

d'accord merci.

Maintenant on me demande de montrer de H est l'orthocentre du triangle ABC.

AH scalaire AB = 0
DOnc (AH) est orthogonale à (BC)

Mais comment montrer que H est le point ou se coupent les trois hauteurs ?

[Sacha..]

dois-je calculer :
CH scalaire AB et BH scalaire AC
De la même facon que j'ai précédemment calculer AH scalaire BC

[L.A.]

On sait que les trois hauteurs d'un triangle sont concourantes.

Il suffit donc de vérifier que H est sur la hauteur D1 issue de A, et sur la hauteur D2 issue de B par exemple, car alors H est aussi D3 hauteur issue de C.

Regarde d'abord comment se traduit AH.BC = 0 en termes de hauteurs.

[Sacha..]

si c'est sensé etre dans mon cours on l'as pas encore fait mais je pense avoir réussi a le démontrer

j'ai calculer
AH.BC = 0 donc (AH) orthogonale(BC)
CH.AB = 0 donc (CH) orthogonale(AB)
BH.AC = 0 donc (BH) orthogonale (AC)

[AC] [BC] et [AB] étant les cotés du triangle ABC, les droites (BH) (AH) et (CH) sont donc les hauteurs respectives des cotés du triangle.
Ces trois droites ont un point commun H : donc H est l'orthocentre du triangle ABC


est correcte de cette facon ??

[L.A.]

Super.

Je précise quelques points :
-> la droite (AH) passe par A et est perpendiculaire à (BC) car AH.BC=0 : par définition, c'est donc bien la hauteur isue de A.
-> Il suffit que H appartienne à deux des hauteurs pour être l'orthocentre (pas la peine de le vérifier pour les trois hauteurs.)

[Sacha..]

super merci

on me demande maintenant d'en déduire de O, G et H sont alignés et là je ne vois pas du tout comment le prouver.
y aurait- il un théorème que je n'aurais pas vu encore ?
Merci d'avance

[Sacha..]

:cry:
Quelqu'un a -t-il une idée pour moi ?

[Sacha..]

Dois-je pour cela utiliser les barycentre afin de trouver que les vecteures sont colinéaires ? la droite d'euler a -t-elle qqch a voir ici ?

[Sacha..]

Dois-je pour cela utiliser les barycentre afin de trouver que les vecteures sont colinéaires ? la droite d'euler a -t-elle qqch a voir ici ?

[Sacha..]

Dois-je pour cela utiliser les barycentre afin de trouver que les vecteures sont colinéaires ? la droite d'euler a -t-elle qqch a voir ici ?

[Sacha..]

la troisième question de cet exercice est "en déduire que O G et H sont alignés" ... je ne vois pas du toutcomment faire quelqu'un peut-il m'aider ?

Mercii