1ere S : Probleme sur l'Espace: sections planes et vecteurs

par **Sacha..** » 16 Nov 2008, 19:46

Bonjour à tous,
je suis bloquée a la première question d'un exo...
Voici l'énoncé:

A, B, C sont trois points de l'espace non alignés. On note E et D les points tels que:
VecteurAE = 1/2VecteurAB et VecteurDB = 3 VecteurAC - 2 VecteurAB

1) montrer que les points C, D et E sont alignés

j'ai fais une figure pour m'aider, j'ai repris les égalités qu'on nous avait donné, essayé pleins de relations de chasles ... toujours rien . quelqu'un peut-il m'aider?

Pour démontrer que 3 points sont alignés il faut montrer que les vecteurs sont colinéaires non ? bref je suis un peu perdue..
Merci d'avance pour votre aide

par **Mathusalem** » 16 Nov 2008, 19:54

Sacha.. a écrit:Bonjour à tous,
je suis bloquée a la première question d'un exo...
Voici l'énoncé:

A, B, C sont trois points de l'espace non alignés. On note E et D les points tels que:
VecteurAE = 1/2VecteurAB et VecteurDB = 3 VecteurAC - 2 VecteurAB

1) montrer que les points C, D et E sont alignés

j'ai fais une figure pour m'aider, j'ai repris les égalités qu'on nous avait donné, essayé pleins de relations de chasles ... toujours rien . quelqu'un peut-il m'aider?

Pour démontrer que 3 points sont alignés il faut montrer que les vecteurs sont colinéaires non ? bref je suis un peu perdue..
Merci d'avance pour votre aide

Salut !
Avec la premiere partie de l'enonce, tu devrais etre capable de trouver facilement les coordonnes de D et de E, a partir de la, montre que CD et CE sont colineaires

par **Sacha..** » 16 Nov 2008, 20:16

euh j'arrive pas..
comment je fais pour trouver les coordonnées sans aucun chiffre?

par **Mathusalem** » 16 Nov 2008, 20:30

Et bien c'est tres simple : Tu es dans l'espace !

La nature de l'enonce est telle, qu'ils ne te donnent aucune specificite quant aux points A B et C
Tu peux par consequent deduire que le probleme est valable en toutes generalites, donc : A = {Xa;Ya;Za} B = {Xb;Yb;Zb} C = {Xc;Yb;Zb}
Tu es dans l'espace, chaque point a donc 3 coordonnes dans le repere cartesien, x y et z.

Ensuite, les contraintes qu'on te donne pour trouver D et E, te premettront de trouver D = {Xd;Yd;Zd} puis E = {Xe;Ye;Ze}

Avec Xd ; Xe comme une certaine combinaison de Xa Xb Xc (c'est la que les 1/2 AB etc... entrent en jeu)
Yd;Ye comme une certaine combinaison de Ya Yb Yc
Zd;Ze comme une certaine combinaison de Za Zb Zc

Ensuite, pour montrer que CDE sont colineaires, il te suffit de montrer que CD = k*CE par exemple, c'est a dire que le vecteur CD est dans la meme direction que CE, sauf qu'il est plus grand (par exemple)

J'espere que ca t'aura aide

Tout doit rester litteral, mais ca va marcher !

BOnne chance

par **Sacha..** » 16 Nov 2008, 20:42

je vais sans doute te paraitre bete mais comment je fais pour calculé les coordonné?
euh je comprend pas très bien
par exemple vecteur AB = xb -xa, yb -ya, zb -za
est ce ca la bonne formule ?

dans ce cas ca me donnerai
VecteurAE = xe -xa, ye- ya, ze- za
mais je vois pas ou ca m'ammène...

par **Mathusalem** » 16 Nov 2008, 20:57

Ou, c'est bien ca, pour former un vecteur AB (allant de A a B)
Tu prends les coordonnes de B, et tu y soustrais les coordonnes de A (dessine toi deux points {1} et {2} dans le plan, et soustrais x2 - x1, et y2 - y1 si tu veux te convaincre que c'est la maniere de former des vecteurs)

Tu as donc
AB=
Xb-Xa
Yb-Ya dans l'ecriture vectorielle
Zb-Za

Tu as AC =
Xc - Xa
Yc - Ya dans l'ecriture vectorielle
Zc - Za

ensuite, tu as que AB/2 = AE
Donc
(Xb - Xa)/2 = Xe-Xa
(Yb - Ya)/2 = Ye-Ya
(Zb - Za)/2 = Ze-Za

Tu sais chaque ligne doit egaler la ligne correspondante,
Tu trouves donc que Xe = Xb/2 + Xa/2 ; Ye = Xb/2 + Ya/2 ; Ze = Zb/2 + Za/2

Comme je te l'avais dit avant, les coordonnes Xe Ye et Ze seront combinaisons des coordonnes de A B et C

Procede de la meme maniere pour trouver DB, et puis DB = 3AC -2AB
Tu trouveras les coordonnes de D

Ensuite, tu dois former les vecteurs CD et CE, et montrer que CD = k*CE

Ca joue ? :P

par **Sacha..** » 16 Nov 2008, 21:04

Dac merci je vais essayé, je pense avoir compris =)
lol sinon je repost un message ^^
Merci encore

par **Sacha..** » 16 Nov 2008, 21:21

ca y est j'ai réussi, c'était un peu long mais je pense qu'on peut raccourcir ce que j'ai fait..
Merci beaucoup pour ton aide

par **Mathusalem** » 16 Nov 2008, 21:23

Il n'y pas de methode vraiment courte !
Si tu as trouve la reponse juste (c'est a dire montrer qu'ils sont colineaires) c'est que tu as procede de la bonne maniere

A+

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