[2] Exercice sur Sections planes et repérage cartésien dans l'espace

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julien0037
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[2] Exercice sur Sections planes et repérage cartésien dans l'espace

par julien0037 » 16 Jan 2010, 15:21

Bonjour,
Dans l'exercice suivant, je ne vois pas du tout comment résoudre les deux questions suivantes également :


ABCDEFGH est un cube dont l'arête mesure une unité de longueur.
Soit le repère orthonormal (A , AB , AD , AE) et M (x ; y ; z) un point de l'espace.

1) Démontrer que M est un point du plan (BDF) si, et seulement si, x + y - 1 = 0 .

2) Démontrer que M est un point du plan (ACE) si, et seulement si, x - y = 0 .



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Ericovitchi
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par Ericovitchi » 16 Jan 2010, 16:08

Ca revient à trouver l'équation du plan BDF donc passant par (1,0,0) ; (0,1,0) ; (1;0;1)
Tu poses l'équation du plan ux+vy+wz+ k = 0 et tu dis que tout ces points appartiennent au plan, tu résous le système et tu trouves l'équation du plan.

julien0037
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par julien0037 » 16 Jan 2010, 22:27

Pour la première question :

M (x ; y ; z)
x + y - 1 = 0
ux+vy+wz+ k = 0
ux + vy - w + k = 0 <== c'est ça l'équation du plan ?

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par Ericovitchi » 16 Jan 2010, 23:26

non tu remplaces x,y,z par les coordonnées des points et tu trouves u,v,w, il ne faut pas tout mélanger

julien0037
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par julien0037 » 17 Jan 2010, 11:23

Donc : u + y + k = 0 ?

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par Ericovitchi » 17 Jan 2010, 12:24

Quel mélange !
Remplacer les coordonnées x,y,z des 3 points (1,0,0) ; (0,1,0) ; (1;0;1) dans l'équation ux+vy+wz+ k = 0 et donc trouver 3 équations en u,v,w,k, ça n'est quand même pas une consigne difficile à suivre ? Si ?

julien0037
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par julien0037 » 17 Jan 2010, 12:43

Désolé Ericovitchi, je n'avais pas compri qu'il fallait trouver 3 équations.
Donc :
u + k = 0
y + k = 0
u + w + k = 0

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par Ericovitchi » 17 Jan 2010, 12:47

non tu as encore un y qui traine.
Après tu poses arbitrairement k=1 par exemple et tu trouves u,v,w

julien0037
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par julien0037 » 17 Jan 2010, 12:50

où ça un y qui traine ?

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par julien0037 » 17 Jan 2010, 12:53

a oui dsl :
u + k = 0
v + k = 0
u + w + k = 0

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par Ericovitchi » 17 Jan 2010, 12:55

Oui OK
Après tu poses arbitrairement k=1 par exemple et tu trouves u,v,w

julien0037
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par julien0037 » 17 Jan 2010, 12:57

Ok. si k=1 :
u = -1
v = -1
w = 0

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par Ericovitchi » 17 Jan 2010, 13:03

donc ton équation est -x-y+1=0 tu tombes bien sur ce que l'on t'a demandé qui était x+y-1=0
Fais pareil avec ACE

benekire2
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par benekire2 » 17 Jan 2010, 13:10

on pouvait également le faire avec la colinéarité des vecteurs

julien0037
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par julien0037 » 17 Jan 2010, 13:52

oui mais on a pas montrer que M et un point du plan (BDF) ?

Finrod
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par Finrod » 17 Jan 2010, 14:16

Ce que vous avez prouvé est que si M est dans BDF alors ses coordonnées vérifient l'équation.

Normalement, la réciproque est donné par le cours, tout plan étant décrit canoniquement par une équation de cette forme, on en déduit que celle de BDF est bien celle-ci.

On dirait cependant ici que la question demande de le redémontrer... mais ça utiliserait des espaces vectoriels et affine... ce n'est pas au programme du lycée.

Je ne vois pas de manière simple de le montrer, je vote donc pour "d'aprés le cours, on peut conclure..."

julien0037
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par julien0037 » 17 Jan 2010, 14:23

Donc pour la deuxième question , M n'est pas un point du plan (ACE) ?

Finrod
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par Finrod » 17 Jan 2010, 14:45

Dans les deux phrases de la question, "M" est une notation générique.

Dans la première phrase, cela désigne un point quelconque de BDF et dans la deuxième, cela à un sens différent puisqu'il s'agit d'un point quelconque de ACE.

c'est comme les équation, on note toujours "x" l'inconnu mais ce n'est pas le même "x" à chaque fois.

julien0037
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par julien0037 » 17 Jan 2010, 14:50

Oui.
Quand je fais le calcule pour la deuxième question, je n'obtiens pas l'équation x - y = 0 , mais x + y + 2 = 0

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Ben314
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par Ben314 » 17 Jan 2010, 14:53

Salut,
Pour l'équation du plan (BDF), on peut aussi le faire "à la main", mais je pense que c'est moins bien que ce que propose Ericovitchi.
il existe tels que
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