1ère S : nombres dérivés et fonctions usuelles [Résolu]

[dilemmae]

Bonjour,
J'ai un DM de maths avec 3 exercices à faire, dont un que je n'arrive pas. J'ai demandé à mon frère qui a fait une première S il y a trèèès longtemps, il ne se souvient pas, mais me dit que ce que j'ai fais semble faux... Je vous mets donc l'énoncé :

1. Construire l'hyperbole H d'équation y = 1/x pour x > 0.



2. Soit M le point d'abscisse a sur H (a>0)
Ecrire, en fonction de a, l'équation de la tangente en M à la courbe H.

3. La tangente en M coupe les axes en A et B.
calculer, en fonction de a, les coordonnées de A et B.

4. Démontrer que M est le milieu de [AB] quel que soit a.

voici ce que j'ai fais :

J'ai donc construit courbe etc.
2. Je n'ai pas exprimé en fonction de a, mais calculé, donc je pense que c'est faux... Je vous mets quand même mes calculs.
y = F'(a)x + p ou p = A(a; f(a))
Le coef directeur (lecture graphique) = 0,2. Son équation est donc de la forme y = 0,2x+p. Le point de contact est M (1,5 ; 0,65) donc 0,65 = 0,2*1.5 +p
p = 0,35

Une equation de H est donc y=0,2x+0,35

Voilà... Mon frère me dit qu'il ne faut pas utiliser une lecture graphique du coef directeur et que je n'ai pas répondu à la question... Le reste je n'arrive pas. =(

Merci pour votre aide!

[el niala]

ton frère a tout à fait raison, tu as choisi une valeur particulière de a au lieu de rester dans la généralité

équation de la tangente à la courbe représentative de f au point d'abscisse a

Y=f'(a)(X-a)+f(a) (1)

ici tu connais f et f', tu peux donc remplacer dans (1)

il te suffira juste ensuite à calculer les coordonnées manquantes pour B(0,?) et A(?,0) et faire leur demi-somme pour conclure

[dilemmae]

Tout d'abord, merci beaucoup pour ta réponse!
Donc, pour répondre :

2. L'équation de la tangente en M à la courbe H au point d'abscisse a est :
Y = f'(a)(X-a) + f(a) avec f(a) = 1/x et f'(a) = -1/x²

Donc (1/x)(X-a) - 1/x².

Mais comment je calcule les coordonnées manquantes de A et B en fonction de a ? Je développe ?
Encore désolée pour ces questions ^^

[maths0]

f(a)=1/a !
Et finalement:

[dilemmae]

Oui désolée, j'ai fais avec f(x) mais je m'étais comprise ^^ Mais comment je calcule les coordonnées manquantes de A et B en fonction de a ?

[maths0]

Quelles sont les coordonnées manquantes ?
Avec un système, A est l'intersection de 2 éléments ... B est l'intersection de 2 éléments ...

[dilemmae]

Ben on me dit de calculer en fonction de a les coordonnées de A et de B. A est l'intersection de la tangente avec l'axe des x et B avec l'axe des y.
A (x ; 0) et B (0 ; y)
Donc il me manque xA et yB...

[maths0]

Ben on me dit de calculer en fonction de a les coordonnées de A et de B. A est l'intersection de la tangente avec l'axe des x et B avec l'axe des y.
A (x ; 0) et B (0 ; y)
Donc il me manque xA et yB...

" A est l'intersection de la tangente avec l'axe des x"
" B est l'intersection de la tangente avec l'axe des y"
Donc on peut écrire:...

[dilemmae]

Ben je sais pas :hum:

[maths0]

Quelle est l'équation de la tangente ?

[dilemmae]

Ben nous avions dis que c'était y=2a-x/a²...

[maths0]

Et bien alors si B(0;Yb) appartient à T, comment trouver Yb ?

[dilemmae]

On remplace B(0;yb) dans T ?

[maths0]

Si tu as une fonction affine (droite) f(a)=3a+5.
Sa courbe représentative T dans un repère a pour équation y(a)=3a+5.
J'ai le point A(0;yA) qui est sur cette droite, quelle est l'ordonnée de ce point ?

[dilemmae]

Ah ben 5, parce que b = 5 qui est l'ordonnée à l'origine. Donc là, Yb c'est -x/a²?

[maths0]

Presque sauf que x vaut 0 ! (abscisse de B). Et
Un formule donne toujours l'ordonnée en fonction de l'abscisse ou inversement.

[dilemmae]

D'accord, mais c'est impossible si x fait 0, alors le total est 0... ?

[maths0]

Quand tu as une intersection il faut que tu penses à un système.
Intersection de la tangente avec l'axe des abscisses en A.
Sachant que la tangente à pour formule:
Sachant que l'axe des abscisses a pour formule: .
D'où:

De même pour B:

[dilemmae]

Petite erreur pour A non ? Le système est :
xA = formule.
yA = 0.

Non ?

[maths0]

A (xA ; 0) et B (0 ; yB)

A(xA;yA) comme A(xA;0) alors yA=0 ?
B(xB;yB) comme B(0;yB) alors xB=0 ?
Non il n'y a pas d'erreur il faut résoudre le système.
Il y a deux y car on cherche l'antécédent de A par f(a).
C'est à dire résoudre f(a)=0.