[L2] Suites réelles

[Anonyme]

Bonjour tt le monde

juste un petit coup de pouce pour pouvoir avancer dans mon devoir, merci !
voilà mon pb :
Soit (u(n)) une suite de réels tels que lim(u(n+1)-u(n))=L quand n tend vers
+oo.
Montrer que lim(u(n)/n)=L quand n tend vers +oo.

J'ai beau tourner le pb dans tous les sens, je ne trouve rien de probant !!
merci pour votre aide.
(et pourtant je suis sûr que la solution est évidente!!!!)

[Anonyme]

GuizLolo a écrit:
> Bonjour tt le monde
>
> juste un petit coup de pouce pour pouvoir avancer dans mon devoir, merci !
> voilà mon pb :
> Soit (u(n)) une suite de réels tels que lim(u(n+1)-u(n))=L quand n tend vers
> +oo.
> Montrer que lim(u(n)/n)=L quand n tend vers +oo.
>
> J'ai beau tourner le pb dans tous les sens, je ne trouve rien de probant !!
> merci pour votre aide.
> (et pourtant je suis sûr que la solution est évidente!!!!)
>
>
>

Pour plus de simplicité je fais le cas L=0
Pour epsilon >0, il existe n0 tel que pour tout n >= n0, |u(n+1) - u(n)|
== n0 on a |u(n+n0)-u(n0)| =< n*epsilon (par l'inégalité
triangulaire). Poses maintenant n' = n+n0, on a |u(n')| =< |u(n0)| +
(n'-n0)*epsilon
En divisant par n' on trouve un truc qui tend vers epsilon, donc avec
les bonnes précautions on conclut...

--
albert

[Anonyme]

On Fri, 17 Dec 2004 17:46:57 +0100, GuizLolo wrote:

> juste un petit coup de pouce pour pouvoir avancer dans mon devoir, merci !
> voilà mon pb :
> Soit (u(n)) une suite de réels tels que lim(u(n+1)-u(n))=L quand n tend vers
> +oo.
> Montrer que lim(u(n)/n)=L quand n tend vers +oo.

Il s'agit du théorème de Césàro.

Pour le montrer, une méthode consiste à retrousser les manches et à
sortir les epsilon comme 'albert junior' le fait.
Mais c'est un peu long à écrire.

Un moyen rapide consiste à utiliser un résultat sur les séries
numériques. en écrivant u(n+1)-u(n) ~ l et en utilisant le résultat
donnant un équivalent de la somme partielle (quand on compare avec une
série divergente).
Ici, la série somme(l) diverge. donc
u(n+1) - u(0) = somme(u(k+1)-u(k),k=0..n) ~ somme (l,0...n) = (n+1)*l
d'où u(n+1) ~ (n+1)l

soit par changement d'indice u(n)/n --> l.

Bien entendu pour montrer ce résultat sur les séries, il faut quand
même sortir les epsilon.

--
Michel [overdose@alussinan.org]

[Anonyme]

On Fri, 17 Dec 2004 21:13:05 +0100, Michel wrote:

> Un moyen rapide consiste à utiliser un résultat sur les séries
> numériques. en écrivant u(n+1)-u(n) ~ l

Je vais être plus précis en ajoutant que ce que j'ai fait n'est valable
que quand l est non nul.

Si l est nul il suffit de rajouter une constante non nulle, Pi par exemple.
u(n+1)-u(n) + Pi --> l + Pi donc (u(n+1)-u(n)+Pi) ~ (l+Pi) etc...

--
Michel [overdose@alussinan.org]

[Anonyme]

On Fri, 17 Dec 2004 21:13:05 +0100, Michel wrote:

> Il s'agit du théorème de Césàro.

En fait c'est le lemme de l'escalier...

Le théorème de Césàro est plus général :
v(n) --> l => somme(v(k),k=1..n)/n --> l

--
Michel [overdose@alussinan.org]

[Anonyme]

"Michel" a écrit dans le message de news:
pan.2004.12.17.20.29.02.47000@alussinan.org...
> On Fri, 17 Dec 2004 21:13:05 +0100, Michel wrote:
>[color=green]
>> Il s'agit du théorème de Césàro.
>
> En fait c'est le lemme de l'escalier...
>
> Le théorème de Césàro est plus général :
> v(n) --> l => somme(v(k),k=1..n)/n --> l
>
> --
> Michel [overdose@alussinan.org][/color]

merci beaucoup pour ces renseignements, mais je trouve que les explications
de albert junior ne sont pas assez clairs pour moi (je suis pas très
intelligent !).
Si quelqu'un veut bien reformuler la réponse, ce serait super cool .
merci

[Anonyme]

> merci beaucoup pour ces renseignements, mais je trouve que les
explications
> de albert junior ne sont pas assez clairs pour moi (je suis pas très
> intelligent !).
> Si quelqu'un veut bien reformuler la réponse, ce serait super cool .
> merci
>
>
Le théorème de Césaro nous dit que si Un tend vers L, sa moyenne 1/n *
(sum(Uk,k=1..n) tend aussi vers L.
Il suffit donc de poser Vn=Un+1 - Un, et appliquer le théorème de Césaro à
Vn :

Vn -> L => 1/(n+1) * sum(Vk,k=0..n ) -> L

Or la somme des Vk est une somme "télescopique", qui fait que
sum(Vk,k=0..n ) = Un+1 - U0

V0 etant un terme borné, sa division par n le rend négligeable pour n assez
grand.

Donc Vn+1-Vn = Un+1 -> L => Un+1 / n+1 ->0.

En espérant avoir été clair..

[Anonyme]

bonjour

Le seul problème que je rencontre dans vos réponses est que je ne suis pas
sensé avoir vu le théorème de Césaro!
A moins de le démontrer, mais la question suivante de mon devoir me demande
de démontrer que la limite, quand n tend vers +oo, de la somme des u(p) pour
p=1 à n, divisé par n² vaut L/2 avec la même condition sur la limite de
(u(n+1)-u(n))=L pour n tend vers +oo !
Je pense que cela se marche un peu sur les pieds non?
Merci quand même pour vos réponses.


"bucou" a écrit dans le message de news:
41c413e3$0$30590$636a15ce@news.free.fr...[color=green]
>> merci beaucoup pour ces renseignements, mais je trouve que les
> explications
>> de albert junior ne sont pas assez clairs pour moi (je suis pas très
>> intelligent !).
>> Si quelqu'un veut bien reformuler la réponse, ce serait super cool .
>> merci
>>
>>
> Le théorème de Césaro nous dit que si Un tend vers L, sa moyenne 1/n *
> (sum(Uk,k=1..n) tend aussi vers L.
> Il suffit donc de poser Vn=Un+1 - Un, et appliquer le théorème de Césaro à
> Vn :
>
> Vn -> L => 1/(n+1) * sum(Vk,k=0..n ) -> L
>
> Or la somme des Vk est une somme "télescopique", qui fait que
> sum(Vk,k=0..n ) = Un+1 - U0
>
> V0 etant un terme borné, sa division par n le rend négligeable pour n
> assez
> grand.
>
> Donc Vn+1-Vn = Un+1 -> L => Un+1 / n+1 ->0.
>
> En espérant avoir été clair..
>
>
>
>[/color]

[Anonyme]

On Fri, 17 Dec 2004 22:13:14 +0100, GuizLolo wrote:

> merci beaucoup pour ces renseignements, mais je trouve que les explications
> de albert junior ne sont pas assez clairs pour moi (je suis pas très
> intelligent !).

Sa réponse est satisfaisante.
As-tu bien acquis la définition de la limite d'une suite ?

--
Michel [overdose@alussinan.org]

[Anonyme]

"Michel" a écrit dans le message de news:
pan.2004.12.18.16.47.16.497000@alussinan.org...
> On Fri, 17 Dec 2004 22:13:14 +0100, GuizLolo wrote:
>[color=green]
>> merci beaucoup pour ces renseignements, mais je trouve que les
>> explications
>> de albert junior ne sont pas assez clairs pour moi (je suis pas très
>> intelligent !).
>
> Sa réponse est satisfaisante.
> As-tu bien acquis la définition de la limite d'une suite ?
>
> --
> Michel [overdose@alussinan.org][/color]

bon alors voilà ce que j'ai fait :
limite(u(n+1)-u(n))=L quand n->+oo
je pose v(n)=u(n+1)-u(n)
donc qq soit epsilon>0, il existe n0, qq soit n>=n0, |v(n)-L|<epsilon
effectuons la somme de cette expression de n0 à n :
sum(|v(k)-L|,n0<k<=n)<(n-no)*epsilon
or |a+b|<=|a|+|b| donc
|sum(v(k)-L,n0<k<=n)|<=sum(|v(k)-L|,n0<k<=n)<(n-n0)*epsilon
en explicitant sum(v(k)-L), on a sum(v(k)-L,n0<k<=n)=u(n+1)-u(n0+1)-(n-n0)*L
et de plus : (n-n0)*epsilon<n*epsilon
donc :
|u(n+1)-u(n0+1)-(n-n0)*L|<n*epsilon
et donc :
|u(n+1)/n-u(n0+1)/n-(n-n0)*L/n|<epsilon
je suis pas loin de la solution mais je ne sais pas comment me débarrasser
de ce u(n0+1) et de "réduire" (n-n0)*L/n en L !!
merci d'avance

[Anonyme]

GuizLolo a écrit:

> bon alors voilà ce que j'ai fait :
> limite(u(n+1)-u(n))=L quand n->+oo
> je pose v(n)=u(n+1)-u(n)
> donc qq soit epsilon>0, il existe n0, qq soit n>=n0, |v(n)-L| effectuons la somme de cette expression de n0 à n :
> sum(|v(k)-L|,n0 or |a+b| |sum(v(k)-L,n0 en explicitant sum(v(k)-L), on a sum(v(k)-L,n0 et de plus : (n-n0)*epsilon donc :
> |u(n+1)-u(n0+1)-(n-n0)*L| et donc :
> |u(n+1)/n-u(n0+1)/n-(n-n0)*L/n| je suis pas loin de la solution mais je ne sais pas comment me débarrasser
> de ce u(n0+1) et de "réduire" (n-n0)*L/n en L !!
> merci d'avance

|u(n)/n-u(n0)/n-(n-n0)*L/n|0, montrons qu'il existe un N >0 tel que n>=N => u(n)/n -
L| == n1 |u(n0)/n| == n2 |n0/(n*L)| == max{n0,n1,n2}, on a bien la majoration souhaitée. cqfd

--
albert

[Anonyme]

un petit errata sans importance :


albert junior a écrit:

> |u(n)/n-u(n0)/n-(n-n0)*L/n| en ajoutant |u(n0)/n| des deux côtés et avec l'inégalité triangulaire :
> |u(n)/n-(n-n0)/n*L| =
> Là soit tu conclus tout de suite puisque (n0)/n tend vers 0 et que
> (n-n0)/n tend vers 1, soit tu veux le faire rigoureusement jusqu'au bout
> |u(n)/n-(n-n0)/n*L| = |u(n)/n - L| = Soit epsilon' >0, montrons qu'il existe un N >0 tel que n>=N => u(n)/n -
> L| = on prend le n0 correspondant à epsilon = epsilon'/3
> Or il existe n1 tel que pour n>= n1 |u(n0)/n| = il existe n2 tel que pour n>= n2 |n0/(n*L)| = Donc pour n >= max{n0,n1,n2}, on a bien la majoration souhaitée. cqfd

ca ne change rien à la demonstration

[Anonyme]

merci beaucoup albert, je comprends mieux les manipulations avec les
inégalités triangulaires et les astuces qui s'y rapportent!!
merci pour ta collaboration qui m'a été très profitable.
encore merci

A+

Lolo